システム管理者
［定義］部分群subgroup:
$$H$$が群$$G$$の部分群であるとは，次の条件1°，2°を満たすものである．
$$1 ^\circ $$ $$G \supset H$$
$$2 ^\circ $$ 群$$G$$の2項演算$$ \circ $$で，$$H$$が群をなす．
■$$H$$が群をなす条件は，次のどちらかと同値である：
$$2 ^\circ -1$$： $$a, b \in H$$$$ \to $$$$a \circ b \in H$$かつ$$b^{-1} \in H$$（$$G$$が有限群ならば後者は不要）
$$2 ^\circ -2$$： $$a, b \in H$$$$ \to $$$$a \circ b^{-1} \in H$$
［演習］条件$$2 ^\circ -1$$と$$2 ^\circ -2$$は同値であることを証明せよ．
■$$2 ^\circ -2$$$$ \to $$$$2 ^\circ -1$$の証明
$$a, b \in H$$の条件は，$$b=a$$を選ぶと，$$a \circ a^{-1}=e \in H$$が成立つ．単位元が存在．
次に，$$e, b \in H$$から出発すると，$$e \circ b^{-1}=b^{-1} \in H$$が導かれる．$$b$$の逆元の存在．
最後に，$$a, b^{-1} \in H$$から出発すると，$$a \circ b \in H$$．
■$$2 ^\circ -1$$$$ \to $$$$2 ^\circ -2$$の証明
$$a, b \in H$$の条件から，$$b^{-1} \in H$$が成立つので，
次に，$$a, b^{-1} \in H$$から出発すると，$$a ^\circ b^{-1} \in H$$．
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［定義］商群
商群に関する定理
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準同型写像とは
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写像$$\phi $$は，群$$\left( G, \circ , e, x^{-1} \right) $$から群$$\left( G', \bullet , e', x'^{-1} \right) $$の中への準同型写像とします．
［準同型定理］
（１） $$G$$の像$$\textrm{Im}\phi $$は，$$G'$$の部分群になる．
（２） $$\phi ^{-1}(e') \equiv \textrm{Ker}\phi $$は，$$G$$の正規部分群になる．これを写像$$\phi $$の核kernelとよぶ．
（３） $$G$$の各元$$x$$の$$\textrm{Ker}\phi $$を法とする剰余類を$$\bar{x}$$とすると，剰余類$$\bar{x}$$ $$\to $$$$\phi (x)$$の写像は，
商群$$G/\textrm{Ker}\phi $$から群$$G'$$中の$$\textrm{Im}\phi $$への同型写像になる．
（証明）
（１） $$^{ \forall }a', ^{ \forall }b' \in \textrm{Im}\phi $$ $$\to$$ $$(a')^{-1}b' \in \textrm{Im}\phi $$を証明する．
$$^{ \exists }a, ^{ \exists }b \in G:a'=\phi (a), b'=\phi (b)$$
$$(a')^{-1}b'=\phi (a)^{-1}\phi (b)=\phi (a^{-1}b)$$
しかるに，$$a^{-1}b \in G$$であるから，$$(a')^{-1}b' \in \textrm{Im}\phi $$
（２） $$^{ \forall }u, ^{ \forall }v \in \textrm{Ker}\phi $$ $$\to$$ $$\phi (u)=\phi (v)=e'$$
$$\phi (u^{-1}v)=\phi (u)^{-1}\phi (v)=e'$$, ゆえに，$$u^{-1}v \in \textrm{Ker}\phi $$
よって，$$\textrm{Ker}\phi $$は$$G$$の部分群である．
$$^{ \forall }a \in G$$に対して，$$\phi \left( aua^{-1} \right) =\phi (a)\phi (u)\phi (a)^{-1}=e'$$
ゆえに，$$aua^{-1} \in \textrm{Ker}\phi $$
よって，$$\textrm{Ker}\phi $$は$$G$$の正規部分群である．
（３） $$^{ \forall }x_{1} \in \bar{x}$$に対して，$$^{ \exists }u \in \textrm{Ker}\phi $$があり，$$x_{1}=xu$$
$$\phi (x_{1})=\phi (x)\phi (u)=\phi (x)e'=\phi (x)$$
一つの剰余類に属する$$G$$の元の写像の行先は同一
$$^{ \forall }\bar{x}, ^{ \forall }\bar{y} \in G/\textrm{Ker}\phi $$(群)
$$\mit\Phi (\bar{x})\mit\Phi (\bar{y})=\mit\Phi (\bar{xy})=\phi (xy)=\phi (x)\phi (y)$$
$$\mit\Phi $$ は，$$G/\textrm{Ker}\phi$$ $$ \to $$$$\textrm{Im}\phi $$の準同型写像であることがわかったので，
これが，同型写像であることを証明するには．単射であること：
$$\mit\Phi (\bar{x})=\mit\Phi (\bar{y})$$ $$\to$$ $$\bar{x}=\bar{y}$$であることをいう．
$$\phi (x^{-1}y)=\phi (x)^{-1}\phi (y)=e'$$ ($$ \because \phi (x)=\phi (y)$$)
ゆえに，$$x^{-1}y \in \textrm{Ker}\phi $$，つまり，$$y=x \cdot \textrm{Ker}\phi $$ ， $$\bar{y}=\bar{x}$$
［同型定理］
群$$G$$において，$$H$$を部分群とし，$$N$$を正規部分群とする．
このとき，
（１） $$HN(=NH)$$は$$G$$の部分群をなす．
（２） $$N$$は$$HN$$の正規部分群になり，
$$H \cap N \equiv D$$は$$H$$の正規部分群となる．
（３） $$HN$$中の$$N$$に関する剰余類は，$$hN$$の形に書かれる．
そして，これを$$H$$中の$$D$$に関する剰余類$$hD$$に写すとき，
商群$$HN/N$$から，商群$$H/D$$の上への同型が得られる：
$$HN/N \cong H/D$$
(証明)
( 1) $$(HN)^{-1}(HN)=N^{-1}H^{-1}HN=NHN=HNN=HN$$，$$HN \subset G$$は群．
$$N, H$$はそれぞれ群であるので$$N^{-1}=N, H^{-1}H=H$$，および，$$N \vartriangleleft G$$を用いた．
( 2) $$HN \vartriangleright N$$は自明．２つの部分群の共通集合は群をなすので$$D$$は群．
$$hDh^{-1} \subset hHh^{-1}=H$$,かつ，$$hDh^{-1} \subset hNh^{-1}=N$$
ゆえに，$$hDh^{-1} \subset D$$，$$H \vartriangleright D$$である．
( 3)剰余類の型$$hN$$は自明．
$$h_{1}N=h_{2}N \Longleftrightarrow h_{1}^{-1}h_{2}N=N \Longleftrightarrow \left. \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
& h_{1}^{-1}h_{2} \in N \\[0mm]
& h_{1}^{-1}h_{2} \in H
\end{array} \right\} \Longleftrightarrow h_{1}^{-1}h_{2} \in D \Longleftrightarrow h_{1}D=h_{2}D$$
同型写像： $$h_{i}N \longrightarrow h_{i}D$$