システム管理者
■3次元結晶空間群
一番有名なのが，3次元の周期的な空間（結晶空間）の対称性ですが，230種類の結晶空間群が数え上げられています．結晶（原子や分子による周期的な構造）の構造解析をしたり，その結晶構造を舞台として起こる現象の対称性を記述したりするのに使われ最も重要です．3次元の周期構造というのは，3次元の格子（3つの並進周期がある）構造を持つということです．
■2次元結晶群．層
2次元の周期のある構造を「層」と呼びます．無限に広がる平面で2つの独立な並進があります．「層」には，片面のみの「層」と両面をもつ「層」があります．私たちが壁紙模様の対称性（平面群）と言っているのは，片面のみの「層」の対称性で17種類あります．両面ある「層」の対称性は，全部で80種類あり，この中に，片面のみの「層」の17種が含まれます．
「層」の対称性など役に立たないと思うかもしれませんが，雲母などの層状の物質もありますし，半導体でも層状の構造があります．また，紙などは連続体ですが，紙の歪応力や力学定数を定義する時にも役立ち実用になるものです．
3次元の空間群の一覧を与える従来のやり方ではなく，次元を落とし，2次元の平面群17種でその構成の数学的原理をマスターすることが重要だと考えています．こうすれば，3次元や，さらに，4次元，5次元への拡張も自力で容易です．
■1次元結晶群．帯とロッド
1次元の並進しかない「層」の構造は「帯」と呼びます．帯にはやはり，片面のみの「帯」と両面ある「帯」とがあります．31種類の両面「帯」がありますが，そのうちの7種類が，片面のみの「帯」です．
もう一つの1次元の並進しかない構造に「ロッド」があります．結晶学的ロッドの対称群は全部で53種類です．［結晶学的というのは，回転やらせん軸が，2，3，4，6回に限られるという意味です］
「ロッド」の対称性も決して数学的遊びに留まりません．表紙の図に示したように，現実の物質が存在し，立派な応用があります．
31種類の両面「帯」の対称性から「ロッド」の対称性と重複するものを除いて，1次元の並進周期のある「帯」や「ロッド」の対称性は，全部で75種類です．
■結晶点群
並進のない図形［有限図形］の対称性を考えるには，変換で不動となる特異点が1点あるとして，この特異点の周りの対称操作が生成する群を数え上げます．これは全部で32種類の点群があります．
■色々な結晶空間群の関係
空間群，平面群，などは，その中に部分群として含まれる「並進群」を核として（並進で移動した点は同じと思え），点群に準同型に写像できます．
色々な空間の階層で考える群は，このように俯瞰的に見れば，たいへんすっきりするものです．