システム管理者
3次元空間の対称性への移行準備のめに，これまでに研究されたすべてのタイプの群を統一的なスキームに統合しましょう．記号$$G_{r,s, \cdots ,t}$$は，$$r$$次元の幾何学空間の（等長）対称群であり，かつ，この群が，$$s, \ldots ,t\left( r>s> \cdots >t \right) $$次元の（周期的，または，非周期的）部分空間を，それぞれの中に変換するとします．この表記法で，片面ロゼット（第2章）の点群は，記号$$G_{3,2,0}$$（または，$$G_{3,1,0}$$）となります．なぜならば，この変換は，特異平面（2次元空間）と，それに垂直な（1次元空間）を，それぞれの中に変換し，同時に，特異点（0次元空間）を不変に保つからです．
有限（あるいは，無限）図形の点群$$G_{3,0}$$（第3章）は，3次元空間を自分自身の中に変換する一方，特異点だけを不変に保ちます．
群$$G_{3,0}$$から，3次元図形の異なる断面を考慮するか，棒の空間群$$G_{3,1}$$（第6章）の部分群を使って，群$$G_{3,2,0}$$に到着しました．両面平面による棒の（縦）断面は，両面帯群$$G_{3,2,1}$$（第5章）の対称性を決定します；後者からは，3次元空間を片面平面に投影して，片面帯$$G_{2,1}$$（第4章）の対称群へ進みます．
同様に，層群$$G_{3,2}$$から，網目パターンの空間群$$G_{2}$$（第7章）に移行します．
これらの群と，タイル（$$G_{3,2,1,0}$$と$$G_{2,1,0}$$），片面ロゼット（$$G_{2,0}$$)，直線（$$G_{1}$$)，線分（$$G_{1,0}$$），点（$$G_{0}$$）対称群は，以下のスキームによって，互いに，かつ，3次元空間の対称群$$G_{3}$$（第9章）と関係づけられます：
図中，一重矢印は部分群への移行；二重矢印は断面，または，射影を示します．記号の前の数字は，離散的な結晶群の数．