システム管理者
「帯」（バンドやリボン）とは，1次元に周期のある2次元面の呼び名とすることにします．
帯には表面と裏面の2面がありますが，それは，我々が３次元空間にいて，帯の2次元面を見るからです．
帯自体が厚みの次元のない2次元世界ですので，２次元世界にいれば表面も裏面もありません．
帯の模様の対称性を考察するにあたり，1面(片面)帯と2面(両面)帯に分けて，それぞれの空間で空間群を調べます．
■1面(片面)帯の７種の空間群
1面帯(周期は1次元)を記述する空間群は，以下の7種類あります．
1面(片面)帯の７つの空間群
赤記号は対称要素．緑のモチーフは非対称単位．
1面帯の模様を，モチーフの分布で表現している．
片面帯の対称操作には，周期$$a$$の他に，映進面$$\tilde{a}$$，鏡映$$m$$，2回軸$$2$$が可能です．
周期$$ a $$は除き，他は皆，位数２の対称操作です．このほかに対称心（反転）$$\bar{1}$$があるように思うかもしれませんが，反転操作は，裏表のある3次元以上の世界で可能な操作で，片面だけの2次元平面には存在しません．
これらの組み合わせで生成される群は，上記の7種類になることがわかるでしょう．
もし，位数２の対称操作以外（例えば，4回軸など）の対称操作が加わった集合を考えると，帯（1次元だけ周期がある）の世界では，群を生成できません．
■下図のイスラム模様は，
Ahmed Saad Analysis of the arabian geometric patterns より引用
Ahmed Saad作品より引用
このイスラームの模様の作品には，９本の片面帯からできています．
各帯には，局所的な，4回軸，6回軸，8回軸が見られます．しかしながら，このような位数が２より高い対称操作が，1次元周期の世界の全域に作用することはできないので，群の生成に寄与することはできません．結局，これらのイスラームの模様の空間群は，以下のようになります．
イスラームの模様の特徴は，局所的に，対称性の高いロゼットが嵌め込まれていることです．空間群で記述すると，これらの局所的な対称性は反映できないので残念ですが，これらの1面帯から受ける印象は，高次元の影を見るような不思議な魅力があります．
■演習
説教壇の階段手摺模様に見られる片面帯の空間群は，7種類のうちのどれでしょうか．
