システム管理者
第１章 群の概念
［定義］群
$$G=\left\{ a, b, c, \cdots \right\} $$ 集合$$G$$が群groupと呼ばれるのは，次の公理を満たす場合である：
０） $$a, b \in G$$， $$a \circ b \in G$$ 2項演算が定義される
１） $$\left( a \circ b \right) \circ c=a \circ \left( b \circ c \right) $$ 結合律
２） $$(a \circ e=)e \circ a=a$$ $$e$$:単位元，左単位元
ある元$$e$$（ただ一つ）が存在し，すべての$$ \forall a \in G$$に対して$$e \circ a=a$$が成り立つ．
３） $$ \forall a \in G$$に対して， $$(a \circ x=)x \circ a=e$$となる$$x$$が（ただ一つ）存在する．
$$x$$：$$a$$の逆元，左逆元
１）～３）を群の公理という．
［演習］群の公理の中で，”ただ一つ”というのは公理に含めなくてもよい（導くことができる）．
■単位元が２つあったとし，それらを$$e, f \in G$$とする．
$$ \forall a \in G$$, $$a \circ f=f \circ a=a$$ ①
$$a \circ e=e \circ a=a$$ ②
$$e=f \circ e=e \circ f=f$$
① ②
■$$a$$の逆元が２つあったとし，それらを$$x, y \in G$$とする．
$$y \circ a=a \circ y=e$$, $$x \circ a=a \circ x=e$$
$$\left( y \circ a \right) \circ x=e \circ x=x$$
$$y \circ \left( a \circ x \right) =y \circ e=y$$
（注）これらの証明で，左単位元と右単位元（左逆元と右逆元）は同一ということが使われている．
［演習］
■ $$(a^{-1})^{-1}=a$$
（証明） $$a \circ a^{-1}=a^{-1} \circ a=e$$
$$(a^{-1}) \circ (a^{-1})^{-1}=(a^{-1})^{-1} \circ (a^{-1})=e$$
$$(a^{-1})$$の逆元は一意であるから，$$(a^{-1})^{-1}=a$$
■ $$\left( a \circ b \right) ^{-1}=b^{-1} \circ a^{-1}$$
（証明） $$(a \circ b)^{-1} \circ (a \circ b)=e$$
$$(b^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ b)=e$$
［定義］
$$G$$が可換群（Abel群） $$ \forall a, \forall b \in G$$， $$a \circ b=b \circ a$$
このときの演算$$ \circ $$は，乗法と呼ばずに加法$$+$$と呼ぶ．加法の単位元は”$$0$$”と呼ぶ．
無限群と有限群： 群$$G$$の元の数［群の位数］が無限か有限かによる．
［演習］
群の左単位元はまた右単位元でもある． $$^{ \exists }e, ^{ \forall }a$$： $$e \cdot a=a$$ → $$a \cdot e=a$$
元$$a$$の左逆元はまた右逆元でもある． $$^{ \exists }x, ^{ \forall }a$$： $$x \cdot a=e$$ → $$a \cdot x=e$$
（証明）
$$e \cdot e=e$$ → $$e$$は$$e$$の左逆元であり，かつ，右逆元であることを意味する．
$$a \cdot e=a \cdot (e \cdot a) \cdot a^{-1}=a \cdot a \cdot a^{-1}=a$$
★群の例
１． 整数$$Z=\left\{ 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \right\} $$： 加法群をなす．
２． 実数$$R$$： 加法で群
３． $$R-{0}$$： 乗法で群
４． 正3角形の３次の対称群（置換群）
対称操作の表
■乗積表
鏡映面$$\sigma _{1}, \sigma _{2}, \sigma _{3}$$は，図形のそれぞれの頂点に固定されて変換されるとして，群の乗積表を作りなさい．
乗積表
乗積表からわかること：
･群を作る$$ \longrightarrow $$ 3次の対称群（有限群，位数は6）
･可換群（Abel群）ではない．
５．$$n$$次正則行列の集合
６. $$n$$次直交行列 $$O(n)$$
$$A \in O(n)$$のとき，$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
A
\end{array} \right| $$を求めよ．$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
A
\end{array} \right| =\textrm{det}A$$は行列式の記号
$$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
^{t}AA
\end{array} \right| =\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
E
\end{array} \right| $$ $$\Longrightarrow$$ $$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
A
\end{array} \right| ^{2}=1$$ $$\Longrightarrow$$ $$A= \pm 1$$
これを回転群と呼ぶ．
■$$A \in SO(2)$$のとき，適当に$$\theta $$をとって，
$$A=\left( \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
\textrm{cos}\theta & -\textrm{sin}\theta \\[0mm]
\textrm{sin}\theta & \textrm{cos}\theta
\end{array} \right) $$ と書くことができる．
［定義］ 元の位数$$r$$
元$$a$$の位数$$r$$とは，$$a^{r}=e$$となる最小の自然数である．
このような$$r$$がないときは，元$$a$$は自由元である．
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集合の２元間に或る2項演算$$ \circ $$が定義され，その演算$$ \circ $$に関して，或る「構造」を持つ集合を代数系といいます．
演算$$ \circ $$は結合法則 $$\left( x \circ y \right) \circ z=x \circ \left( y \circ z \right) $$が成立つ．
演算$$ \circ $$について，結合法則だけが存在する代数系を「半群」という．
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［定義］群の軌道
群$$\mit\Gamma $$を，集合$$X$$上に作用する「変換群」とします．
群$$\mit\Gamma $$による$$a \in X$$の軌道とは，$$\mit\Gamma (a)=\left\{ \sigma (a)|\sigma \in \mit\Gamma \right\} $$．
$$X \ni a, b$$に対して，$$b$$が$$a$$の軌道に含まれるという関係は，$$X$$における同値関係になる．
軌道は同値類である．集合$$X$$を軌道で類別できる．
$$X$$の中に軌道がただ一つしかない場合：
つまり，$$^{ \forall }x, ^{ \forall }y \in X$$に対して，$$^{ \exists }\sigma \in \mit\Gamma $$があり，$$\sigma (x)=y$$のとき，$$\mit\Gamma $$は推移的という．
［演習］軌道に属するという関係は，同値関係であることを確認せよ．
$$a$$に軌道に$$b$$が含まれるとせよ：$$b \in \left\{ \sigma (a)|\sigma \in \mit\Gamma \right\} $$であるから，$$b=\sigma _{i}(a)$$となる$$^{ \exists }\sigma _{i} \in \mit\Gamma $$がある．$$\mit\Gamma $$は群であるから，$$\sigma _{i}^{-1} \in \mit\Gamma $$があり，$$\sigma _{i}^{-1}(b)=a$$となり，$$b$$の軌道に$$a$$が含まれる．
ゆえに，$$\mit\Gamma (a)=\mit\Gamma (b)$$．これは，対称律を保証する．反射律，推移率も同様に成立する．