X線の散乱

X線の入射波および散乱波に対してはBorn近似が適用でき，入射波$\Psi_{k}(r)$，散乱波$\Psi_{k'}(r)$の状態関数をそれぞれ平面波で近似してよい．空間$V$で規格化されたこれらの状態関数を下に示す．
$\textrm{exp}[i\omega t] \Psi_{k}(r)=(1/\sqrt{V})\textrm{exp}[i(\omega t-2\pi k \cdot r)]$
$\textrm{exp}[i\omega t]\Psi_{k ' }(r)=(1/\sqrt{V})\textrm{exp}[i(\omega t-2\pi k ' \cdot r)]$

ここで，$2\pi k, 2\pi k '$はそれぞれ入射波，散乱波の波数ベクトルである．散乱ベクトル$q$は
$q=k' -k$で定義される．
構造解析の対象となるのは，X線の弾性散乱分である．
弾性散乱では，$\left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } } k \end{array} \right| = \left| \begin{array}{@{\,} c @{\, } } k ' \end{array} \right| =1/\lambda$，$q=2\textrm{sin}\theta /\lambda$が成立する（ここで，$2\theta$は散乱角；$\lambda$は実験に用いたX線の波長；$V$は散乱体の体積）．X線の散乱を惹き起こす原因となるポテンシャルは物質の電子分布密度$\rho (r)$であるので，散乱振幅$F(q) \equiv <k|\rho (r)|k ' >$は：
$F(q)=\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\rho (r)\Psi ^{*}_{k}(r)\Psi _{k ' }(r)d^{3}r=(1/V)\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\rho (r)\textrm{exp}(-i2\pi q \cdot r)d^{3}r$
このように，散乱振幅$F(q)\equiv<k|\rho (r)|k ' >$は，$\rho (r)$のFourier変換$Tr$にほかならないことが理解される．
$F(q)=Tr\left[ \rho (r) \right]$

$\rho (r)=Tr^{-1}\left[ F(q) \right]$

Fourier変換で結ばれる$\rho(r)$と$F(q)$の対称性は同一である．

結晶格子$Ш(r)$は，$\displaystyle \lim_{N \to \infty }Ш_{N }(r)$

$Ш_{N}(r)=\displaystyle \sum_{1}^{N1}\displaystyle \sum_{1}^{N2}\displaystyle \sum_{1}^{N3}\delta [r-(m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+m_{3}a_{3})]$

$\delta(x)=\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\textrm{exp}(-i2\pi x \cdot y)dy$

$\rho_{0}(r)$を単位胞とする周期的な電子分布は，コンボリューション★を用いて次式のように表現できる．
$\rho (r)=\rho _{0}(r)★Ш(r) =\displaystyle \int_{- \infty }^{+ \infty }\rho_{0} (r)Ш(r-\tau)d^3\tau$

$Tr［\rho(r)］=Tr[\rho_{0}(r)★Ш(r)]=Tr[\rho_{0}(r)]･Tr[Ш(r)]=Tr[\rho_{0}(r)]･\bar{Ш}(q)]$

$\bar{Ш}(q)=Tr[Ш(r)]$　結晶格子のFourier変換は逆格子を与える．結晶格子と逆格子は互いに双対である．

すなわち，単位胞の電子分布が結晶格子の周期で繰り返されている結晶からのX線の散乱振幅は，単位胞のFourier変換を逆格子点でサンプリングしたものである．