システム管理者
今回は，平面群の第４類の説明です．この類は，直交する２つの映進面がありますので複雑です．
映進面が１つのパターン$$pg$$の例を参照ください．
以下のペルシャのパターンが，$$pgg2$$の繰り返し模様の例です．
国際記号で$$pgg2$$，ロシア式記号で$$(b:a):\tilde{b}:\tilde{a}$$と書かれるものです．
［構成方法１］
① 2回対称軸が$$a$$軸方向に周期的に配列した1次元構造（図の1番上の行にあります）；
この対称性は$$(a):2$$
② この1次元構造を，$$b$$軸（$$a$$軸に垂直）に沿って映進$$\tilde{b}$$すると，2次元のパターンが得られます． 対称性$$( b:a) :\tilde{b}:\tilde{a}$$
(注) 1次元構造$$( b) :2$$を映進$$\tilde{a}$$で繰り返し広げても同じ構造が得られます．
［構成方法２］
互いに直交する２つの映進面$$\tilde{a}$$，$$\tilde{b}$$が作用すると，
このパターン$$( b:a) :\tilde{b}:\tilde{a}$$が得られます．
上記の2つの構成方法を等しいと置くと，$$\tilde{b}:\tilde{a}=2 \odot \tilde{a}$$となり
これは，点群$$2m$$に同型な，拡張された点群であることがわかります．
（注）$$\odot $$
２つの直交する映進面$$\tilde{a}$$と$$\tilde{b}$$の組み合わせは，
交差する直線（不動線）がありますが，2回軸$$2$$と映進面$$\tilde{a}$$の組み合わせは，
互いに平行で交差しません．
記号$$ \odot $$は交差しない対称操作の組み合わせであるときに用いる記号です．
(注）拡張された点群
$$\tilde{b}:\tilde{a}$$の組み合わせも，$$2 \odot \tilde{a}$$の組み合わせも，それらの対称操作を繰り返すと
並進の成分が生まれます．そのため，格子分だけ移動したものは同値としないと点群になりません．このような拡張された点群は，格子を核として写像すると点群に帰着できます．この場合は群$$2m$$と同型になります．