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反対称性の一般化
A. M. Zamorzaev ，Comput.Math.Applic. Vol.16,No.5-8pp.555-5621988
A. V. Shubnikovは，古典対称性の根本的な拡大として，反対称性の概念を導入した．
その後，反対称性は自然科学の分野で数多くの応用を見出し，多重反対称性，色対称性，色反対称性，クリプト対称性，P-対称性，などの形で一般化された．
反対称性とその一般化の発展について，ここに解説する．
第1章
シュブニコフがフェドロフ理論の拡大に果たした豊かで多様な貢献に注目し，今日の結晶学者誰もが，反対称性の発見こそがこの分野における彼の科学的研究のハイライトと判断している（例えば， 文献[1, p.2]を参照）．反対称性の概念を最初に導入したのが誰であったかは，この際どうでも良い（60年代にはこの問題の真相に注目が集まりすぎた）．重要なのは，幾何学的な対称性に物理的な変化を加えることによって，対称性をより豊かにするという応用的な価値に注目したのは，シュブニコフだったということだ．ソビエト結晶学派は，対称性の理論のさらなる改良は，それが自然科学の実践で機能するか，将来的に機能する場合にのみ価値があると常に考えていた [1, p. 76]．
彼は，現代ではすべての結晶学研究者に必要な知識となった，根本的な新しい流れを生み出しました．
（シュブニコフの反対称性[2]とベーロフの色対称性[3]の概念は，必須知識になった．修士課程の試験問題や百科事典[4]で取り上げられている）．
反対称性の発展，その一般化，応用については は，モノグラフ[5-9]，総説[l0-14]，著名な書籍[15]の第9章で紹介されており，筆者は以下でこれらを断りなしで引用する．
この論文は，反対称性，その拡大，あるいはその幾何学的応用に関するすべての文献を網羅するものではないことを申し添えます．他の著者を別にして，キシニョフの幾何学者たちだけで，これらの問題について書かれた100以上の著作があり，上記の書籍や論文に引用されているからです ［5-15].
第2章
シュブニコフ100周年は，古典対称性の深層にある反対称性概念の起源から60周年と重なる．20世紀初頭のX線回折の発見と結晶構造解析の進展は，ドイツの数学者による$$n$$次元空間群$$G_{n}$$の一般理論の展開とほぼ同時で，フェドロフ理論を広く実用化することになった．したがって，20年代に結晶学者が対称性理論の詳細に重点を置くようになったのは偶然ではなく，その結果，（主にドイツとスイスの科学者による）「小」結晶群の説明を含む多くの著作が出現したのである．
31の帯群$$G_{321}$$, 80の層群$$G_{32}$$，75の丸棒群$$G_{31}$$は，230のフェドロフ群の部分群［特異（不変）平面や特異直線を持つ］として導出された．
ヘーシュHeeschとシュブニコフShubnikovは，シュパイサーSpeiserが1927年に提案した$$G_{321}$$群の解釈を受け，2年後にウェーバーWeberが$$G_{32}$$群に関連して実現した図［黒白の色を使い単面平面上に描画した双面平面（帯,層）］のアイデアに深い感銘を受け，その結果，互いに異なる方法，異なる時期に，独立して，反対称の概念の厳密な定義にたどり着いたのである．
1930年，数学者Heeschは，80の層群$$G_{32}$$（2次元群の黒-白群$$G_{2}^{1}$$）の導出を，17層の2次元Fedorov群$$G_{2}$$から，4次元の”超層”群$$G_{43}$$(3次元の黒-白群$$G_{3}^{1}$$)の導出を，230のフェドロフ群$$G_{3}$$から行った；同時に，122の4次元の点群$$G_{430}$$（黒-白3次元群$$G_{30}^{1}$$）を32の結晶点群$$G_{30}$$から導出した．
Heeschは基本的に古典群の多次元生成の問題に関心を持っていた（そのため，彼の研究は，適切な時期に，結晶学者に注目されなかった），それとは異なり，シュブニコフは，反対称性の概念を， (物理的性質の変化による）古典的対称性の基本的な拡大としてのみ定式化し，本質的にこの考えを発展させることができた（ただし15年後のことである）：ヘーシュはビーベルバッハとフロベニウスに遡るこの問題の特殊なケースを解決した．シュブニコフは，根本的に新しい問題の基礎を作ったのである．
周知のように，反対称性の本質は，任意の点に" + "または" - "（電荷，黒白の色などの何らかの物理的意味に対し）符号を付与することである．合同変換に従う図形の各点に，変換で図形の点の符号が変わらないか，符号が反転するかで，それぞれ対称変換，反対称変換が定義される．
符号の付与された図形の対称変換は，古典的なものと変わりませんが，すべての反対称変換 は，対称変換と反恒等変換（符号のみ変える演算）との積である．
対称群と反対称群は，反対称変換の有無によって次の3つのタイプに分類されます：
(1) 極性群（単色群）または生成群（$$\mit\Pi $$），つまり古典的な対称群と同じ．
(2)中性群(灰色群)または上級群($$C$$),反恒等変換の追加により古典群を2倍にし得られる．
(3)混合極性 (黒白)群，または，ジュニア群($$M$$)は，反恒等変換のない反対称変換を含む．
最後の型の群の導出は，自明なことではなかった．シュブニコフは 古典群の形成要素を対応する反対称変換に置き換えることによって 発見した．
同一の群を明らかにし，不要な群を削除した後 (その中にシニア群もありうる），32の結晶点群$$G_{30}$$から58の異なるジュニア群が得られた．一般化されたグループ$$G_{30}^{1}$$はすべてで，$$32\mit\Pi +32C+58M=122$$となり，これはHeeschの発見と同じである．
生成群からジュニア群を導出するShubnikovの方法は，1953年に筆者によって理論的に立証された，1954年にBelovによって，1959年にIndenbomとNiggliによって大幅に補完された[17-20].
1953年から1954年にかけて，筆者と Belov とその研究グループは，根本的に異なる方法で，シュブニコフ空間群$$G_{3}^{1}$$の2つの独立した導出を行った； 彼らは 230のフェドロフ群$$G_{3}$$から，$$230\mit\Pi +230C+119M=1651$$の$$G_{3}^{1}$$群を得た（この後，Koptsik [5] によって，新しい方法論での Shubnikov 群の導出が行われた）．
同様に，17の群$$G_{2}$$から$$17＋17＋46＝80$$個の2次元シュブニコフ群$$G_{2}^{1}$$（80の層群$$G_{32}$$は幾何学の視点からは，”+”,"-"の解釈を与えている），75の群$$G_{31}$$，80の$$G_{32}$$からは，それぞれ，394（$$=75+75+244$$）個の群$$G_{31}^{1}$$，528（$$=80+80+368$$）個の群$$G_{32}^{1}$$などが導かれる（表１，２参照）．
X線構造解析[21]や結晶物理学[22]における反対称性の応用が登場したのは，1952年から1959年にかけてのことであるが，その凱旋行進が始まり，さらなる拡張－例えば，多重反対称や色対称などが促進された．シュブニコフの晩年の15年間に特に集中的に行われたそれらの発生と発展を追ってみよう．