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2次元アイソゴンとアイソヘドラ．寄せ木
アイソゴンisogonとは，どの頂点にも同じ数の辺が集まっている多面体に与えられた名前です．各頂点に集まる辺の様子が合同であるか鏡映対称であるような典型的なアイソゴンに興味を絞ります．典型的なアイソゴンの例には，すべての正多面体が含まれます．一般的なアイソゴンのすべての頂点は球面に乗り，球の半径が無限に大きくなると，球の表面は平面になります．半径が無限大の球に対応する典型的なアイソゴンを，平面アイソゴンと呼びます．
一般に，平面アイソゴンは，隙間なく平面を埋めるいくつかのタイプの多角形（＝ポリゴン，平面アイソゴンの面）で構成されます．平面アイソゴンの各頂点は，幾何学的に等価（合同または鏡像）な様相でアイソゴンの辺（ポリゴンの側面）が集まっています．平面アイソゴンを構築してみましょう．ネットワークパターンの17の対称クラスのうちの1つを選び，図149を使用して，選択した対称クラスに対応する対称要素の配置を紙に書き留めます．次に， 任意の点を選び，その点に存在する対称要素の対称変換を作用させます．
結果として得られた同価点の系が，アイソゴンの構築の基礎になります．系の各点の最近接点を線分で結びます．検討中の点を除いて直線の交差が発生しない限り，このプロセスを続行します．等しい最短距離が複数ある場合，これらが交差しない限り，対応するすべてを線分で結びますが，交差する直線は描画しません．図174〜176の番号1〜35は，種々の対称クラスに対してこのようにして構築された平面アイソゴンです．
例として，アイソゴン2（図174）がどのように構築されたかを考えてみましょう．同価点の単純系を構築するには，対称クラス(a / a):m･6（図149）を選びます．6回対称軸と3回対称軸の間の対称面上に点Aを選定します［訳者注）Aは特殊点です］．この系の点Aの同価点のすべてが，3回軸と6回軸の回転により生じます．点Aを隣接する2つの点と結びます．同様の作業を系のすべての点で行います．このようにして，図に示されているすべての６角形を完成します．
次に，点Aと同価点のうちで2番目に近接する点を結びます．その結果，図中のすべての３角形が表示されます．これで，平面アイソゴンが構築されました．点Aを長方形の反対側の角にある次に近い点に結合した場合，2番目の対角線も描画する必要があり，単純なシステムにならない新しい点，つまりの交点が発生します．そのような点は仮定により許されません．アイソゴンの構築が完了したら，対称面と対称軸を表すすべての補助点と線を消します．
平面アイソゴンを構築する際に，異なる対称クラスから始めても，結果が同じになる場合があります．たとえば，図174の平面アイソゴン6は，元の点を正しく選択すれば，対称クラス(a / a)･m･6またはクラス(a / a):m･3から構築できます（図149を参照）．したがって，次の明らかな矛盾が発生します．平面アイソゴンは，その構造が基にした対称性と同じではない可能性があります．このケースは対称性の異なる5つの立方体の場合について以前に詳細に検討したときに起きた現象と同じです（図65）．アイソゴンを構築する際に，図形の物理的同価性を無視したため，明らかな矛盾が生じます．
これらの矛盾は，着色や陰影などの方法で図を処理することにより，完全に排除することができます．
この構築されたアイソゴンを「完全」と呼びます．これは，「不完全」なアイソゴンとの対比ですが，不完全なアイソゴンは，残りの線分が平面を凸多角形に分割するように特定の線分を削除して，完全なアイソゴンから導けます．図176ー178の番号36〜60は，この方法で取得された不完全な平面アイソゴンの例です．たとえば，図176の不完全な平面アイソゴン36は，平行四辺形の対角線を削除することにより，完全なアイソゴン8（図174）から得られます．アイソゴン40（図177）は，アイソゴン19（図175）から，菱形の短い対角線を削除して得られます．
典型的な平面アイソゴンから典型的な平面アイソヘドラisohedraを作るのは簡単です．平面アイソヘドラは，隙間なく平面を埋める同価なポリゴンで構成される平面無限の図形です．これらのポリゴンは，必ずしも平行ポリゴン（平行な辺を持つポリゴン）の一部である必要はないという点で，すでに検討されている平面ポリゴンとは異なります．平面アイソヘドラを構築するために，平面アイソゴンに対し，それらのエッジの中点を通る直線を描きます．直線は相互に交差した後，平面アイソヘドラの凸多角形を形成します． 例として，考えてみましょう． 図179.ここで細い線は，すでに遭遇したタイプのアイソゴンを示しています（図175の19）． 太い線は細い線の中点を通過し，細い線の辺に垂直であり，等辺６角形の系を形成します．
