システム管理者
１．結晶空間群の発見
２．群拡大理論に基づいた空間群の構成
３．群の一般化．特性の対称性
４．対称性の重ね合わせ．対称化と非対称化
3次元結晶群（点群，あるいは，空間群）は，3次元の幾何空間に作用する対称操作が作る群でした．一般化の第一歩は，幾何学的次元とは異なる何らかの超幾何学的な特性（代表して「色」と呼ぶ）空間を付加することで得られました．A.V.シュブニコフは，＋/-の2値をとれる特性を，3次元幾何空間の各点に付与しました．これが，反対称群（シュブニコフ群；黒白群）であり，多値の特性を各点に付与したものが色付き群（ベーロフ群；多色群）であります．
もし，付加する特性次元が3次元空間と同様な幾何学的次元であれば，4次元結晶群になります．
シュブニコフ（反対称；黒-白）Ш群
ベーロフ（多色）Б群
超幾何学的特性（色と呼ぶ）を空間に付与する
色付きの空間構造を色の見分けができない眼鏡を通して見れば，すべての点が同一色に見え空間の幾何学的構造だけが見えます．このことから，色付き構造を記述する群$${Б^{(p) } }$$（色特性$${p}$$色）は，同型な結晶群 $${G \cong Б^{(p) } }$$ があることになります．$${p}$$色の色付き構造のうちで同色の同価点系が作る$${G}$$の部分群を$$ {G^{* } } $$とすると，色特性の数$${p}$$は，部分群$${G^{* } }$$の群$${G}$$に対する指数（それぞれの群の位数の比で整数）になります：$${p=(G^{*}：G)}$$
$${G^{* } }$$が$${G}$$の指数$${p}$$の正規部分群であるなら，$${G}$$に同型な$${p}$$色の色付き群$${Б^{(p) } }$$は，群$${G^{* } }$$を色置換群$${P}$$で拡大した正規拡大$${Б^{(p)}=G^{*}\otimes P}$$として得られます.
■ シュブニコフ結晶空間群Шは，Шと同型な古典空間群$${G}$$の指数２の部分群$${G^{* } }$$（注：指数２の部分群は常に正規部分群）を，位数２の反対称演算の群，
$$ m'=\{1,m'\}, 2'=\{1,2'\}, \bar{1}'=\{1, \bar{1}'\}, 4'=\{1,4'(\textrm{mod}2)\} $$，あるいは，反対称格子や，反並進を含む並進群$$ \tau'(\textrm{mod}2 \tau)＝ \{1, \tau'\} $$で拡大して得られます．
■ ベーロフ$${Б^{(p) } }$$結晶空間群
$${p}$$色の色付き3次元結晶空間の対称性に関します．$${Б^{(p) } }$$群は，色の見分けの出来ないフィルターを通して見れば1色に見えますから，これに同型な何等かの古典群Φ:$${Φ\congБ^{(p) } }$$があり，Φの正規部分群で，指数$${p}$$のものを$${G^{* } }$$とすると，$${Φ/G^{* } }$$に同型な，色置換群$${P}$$を用いて，$${Б^{(p)}=G^{*}\otimes P}$$のように正規拡大の型で$${Б^{(p) } }$$群が得られます．あるいは，以下の$${p}$$色巡回置換の並進群を用いて拡大します．
$${\tau^{(p)}(\textrm {mod}\tau)=\{ \tau^{(p)}, ( \tau^{(p)})^{2}, \cdots , (\tau^{(p)})^{p}=\tau \equiv 0(\textrm {mod}\tau) \} }$$
このような$${Б^{(p) } }$$群を標記するには，その生成群を明示しての次のように標記します：$${Φ/G^{* } }$$
Ш群や$${Б^{p } }$$群は色付きの結晶空間群を念頭に記述しましたが，色付きの結晶点群に限定して記述するのは，理解しやすい良い方法かもしれません．色巡回置換による群は，Niggli，Indenbom，Belov，Neronova（1959，1960）が，古典群の正規部分群を含むものはWittke(1962)が研究しました．色付き群の分解表現は，Shubunikov，Koptsikが導き，73種類のWittke-Garrido群$${G_{WG}^{(p)}=G^{(p)*}・G^{* } }$$と，これに同型なVan der Waerden-Burckhardt群$${G_{WB}^{(p)}=G^{(p_{1})*}・G^{(p_{2})* } }$$を導きました．全$${G_{WB}^{(p) } }$$と$${G_{WG}^{(p) } }$$の数え上げは，Koptsikの下で，Kuzhukeev(1972)の修士論文でなされました．
部分群$${G^{(p_{2})*}\subset G_{WG}^{(p) } }$$は，最後に決まった色を保存し，群$${G_{WG}^{(p)* } }$$の中の色置換の型$${G^{(p)* } }$$は始めの点の採り方に依存します．
色付き空間群の導出は，1969年ザモルザエフにより始められ，3色，4色，6色までの空間群の数え上げが行われた．色付き空間群の色の塗り替え演算が，色並進群にあるものと，色並進を含まない群とに分類でき，さらにそれぞれに共型なものと非共型なものに分類できる．色空間の対称操作は幾何的結晶空間の対称操作と連動するために，許される色数$${p}$$は制限があり，最大で48色，以下24,16,12,8,6,4,3色です．正規拡大による色付き空間群の数え上げは完了しました．
■演習
2次元2色（黒白）結晶点群を求める
2次元結晶点群10種
2次元結晶点群から導ける黒白群11種．赤の記号は反対称演算成分を持つ．