システム管理者
１．群$$G$$の2つの部分群$$H,K$$の共通部分は部分群である．
$$H \cap K=D \ni ^{ \forall }a,^{ \forall }b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
H \ni ab \in K & \Rightarrow ab \in D \\[0mm]
H \ni a^{-1} \in K & \Rightarrow a^{-1} \in D
\end{array} \right. $$
2．2つの正規部分群$$H, K$$の共通部分は，$$H, K$$の正規部分群である．
$$\left. \begin{array}{@{\,} cc @{\, } }
H=k^{-1}Hk & k^{-1}Kk=K \\[0mm]
H \supset k^{-1}Dk & k^{-1}Dk \subset K
\end{array} \right\} \Rightarrow k^{-1}Dk=D, \left( h^{-1}Dh=D \right) $$
３．$$H, K$$が正規部分群なら，$$^{ \forall }h \in H$$と$$^{ \forall }k \in K$$は可換である．ただし，$$H \cap K=e$$とする．
$$\left. \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
K正規部分群 & \Rightarrow & \left( h^{-1}k^{-1}h \right) k=k'k=k'' \\[0mm]
H正規部分群 & \Rightarrow & h^{-1}\left( k^{-1}hk \right) =h^{-1}h'=h''
\end{array} \right\} \Rightarrow k''=h''=e$$とすると，
$$h^{-1}k^{-1}hk=e$$だから，$$hk=kh$$が結論できる．
（逆）
① $$H, K$$が部分群で，$$^{ \forall }h \in H, ^{ \forall }k \in K$$に対して，$$hk=kh$$ならば，$$HK$$は群を作る．
② $$H, K$$は，$$HK$$の中で正規である．
（証明）
$$^{ \forall }h_{1}k_{1}, ^{ \forall }h_{2}k_{2} \in HK \Rightarrow h_{1}k_{1} \cdot h_{2}k_{2}=h_{1}h_{2} \cdot k_{1}k_{2} \in HK$$ ①
$$^{ \forall }hk \in HK$$に対し，$$hkHk^{-1}h^{-1}=H$$ ②
４．群$$\mit\Phi $$の部分群$$\mit\Phi ^{ \ast }, \mit\Gamma , D$$の指数関係
$$\left. \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\mit\Phi \supset \mit\Phi ^{ \ast } \supset D \\[0mm]
\mit\Phi \supset \mit\Gamma \supset D
\end{array} \right\} $$, $$\mit\Phi ^{ \ast } \cap \mit\Gamma =D$$ならば， $$\left( \mit\Phi :\mit\Phi ^{ \ast } \right) \ge \left( \mit\Gamma :D \right) $$
$$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\mit\Gamma =D+\gamma _{2}D+\gamma _{3}D+ \cdots +\gamma _{p}D \\[0mm]
\gamma _{i}D \cap \gamma _{j}D= \phi \left( i \neq j \right)
\end{array} \right. $$である．
もし，$$\gamma _{i}\mit\Phi ^{ \ast } \cap \gamma _{j}\mit\Phi ^{ \ast } \neq \phi $$とするなら，適当な$$\phi _{i}^{ \ast }, \phi _{j}^{ \ast } \in \mit\Phi ^{ \ast }$$があり，
$$\gamma _{i}\phi ^{ \ast }_{i}=\gamma _{j}\phi _{j}^{ \ast } \Rightarrow \mit\Gamma \ni \gamma _{j}^{-1}\gamma _{i}=\phi _{j}^{ \ast }\phi _{i}^{ \ast -1} \in \mit\Phi ^{ \ast }$$
ゆえに，$$\gamma _{j}^{-1}\gamma _{i} \in D \Rightarrow \gamma _{j}^{-1}\gamma _{i} \in \mit\Phi ^{ \ast } \Rightarrow \gamma _{i}\mit\Phi ^{ \ast }=\gamma _{j}\mit\Phi ^{ \ast }$$同一な剰余類になり矛盾．
ゆえに，$$\gamma _{i}\mit\Phi ^{ \ast } \cap \gamma _{j}\mit\Phi ^{ \ast }= \phi $$