システム管理者
■群という代数系
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［定義］ 集合$$G$$が次の４つを満足するとき，集合$$G$$は群と呼ばれる．
１° ２項演算の存在： $$^{ \forall }a, ^{ \forall }b \in G \to a \circ b \in G$$
２° 結合法則： $$a \circ (b \circ c)=(a \circ b) \circ c$$
３° 単位元の存在： ある元 $$e \in G$$（ただ一つ）が存在し，
$$a \circ e=e \circ a=a$$が，すべての $$a \in G$$に対して成り立つ．
４° 逆元の存在： 各 $$a \in G$$に対して，
$$x \circ a=a \circ x=e$$となる $$x \in G$$が，いつも（一意に）存在する．
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ある集合を考える．この集合の元間に，ある演算$$ \circ $$（２項演算）が定義されて，その演算について，ある"構造"を持つ集合を，代数系（$$ \circ $$系）という．群は一つの代数系の例である．
演算$$ \circ $$について結合的（１°，２°のみ成り立つ）である代数系は半群という．
（例題）正3角形に対する対称操作の乗積表を完成せよ．
ただし，$$ \bigtriangleup 123$$を動かしても，$$\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$$の位置は変わらないとする．
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[定義] 元の数を群の位数（order）という．
元$$a$$の位数（order）とは，$$a^{n}=e$$となる最小の$$n$$のことである．
[定義] 部分群： $$H$$は$$G$$の部分群であるとは，
$$H \subseteq G$$で，$$H$$は$$G$$と同じ演算で群を作る．
群$$G$$の部分群$$H$$には，群$$G$$と単位元のみが作る群$$E$$が必ずある．
特に，$$E \subset H \subset G$$なら$$H$$を真部分群という．
剰余類分解
$$G$$を部分群$$H=\left\{ E,\sigma _{1} \right\} $$の剰余類で展開しよう．