システム管理者
ある共型群で，群$$G$$を$$T$$を法とする群$$G^{T}$$で置き換え，導かれる非共型群$$\mit\Phi _{nsym}=T \bigcirc G^{T}$$は，商群が同一の結晶点群に同型である類縁の群の系列を形成する．$$2/m$$の系列を考察に選ぶとすれば，非共型群$$P2_{1}/m, P2/b, P2_{1}/b$$の剰余類による標準的分解は，次のようになる（ここでは，剰余類が$$P2_{1}$$,等々と標記されている．空間群の場合も同じ標記をしたので混乱しないように注意せよ！）
$$P2_{1}/m=P1+P2_{1}+P\overline{1} +Pm$$
$$P2/b=P1+P2+P\overline{1} +Pb$$
$$P2_{1}/b=P1+P2_{1}+P\overline{1} +Pb$$
これらの群の並進部分群に関する商群，すなわち$$P2_{1}/m/P, P2/b/P, P2_{1}/b/P$$の乗積表
$$ \begin{array}{c|cccc} & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pm \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pm \\[0mm] P2_{1} & P2_{1} & P1 & Pm & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pm & P1 & P2_{1} \\[0mm] Pm & Pm & P\overline{1} & P2_{1} & P1 \end{array} $$ $$ \leftrightarrow $$
$$ \begin{array}{c|cccc} & P1 & P2 & P\overline{1} & Pb \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2 & P\overline{1} & Pb \\[0mm] P2 & P2 & P1 & Pb & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pb & P1 & P2 \\[0mm] Pb & Pb & P\overline{1} & P2 & P1 \end{array} \leftrightarrow $$
$$ \begin{array}{c|cccc} & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pb \\[0mm] \hline P1 & P1 & P2_{1} & P\overline{1} & Pb \\[0mm] P2_{1} & P2_{1} & P1 & Pb & P\overline{1} \\[0mm] P\overline{1} & P\overline{1} & Pb & P1 & P2_{1} \\[0mm] Pb & Pb & P\overline{1} & P2_{1} & P1 \end{array} $$
は，実際に，点群\$$2/m$$の乗積表と同一の構造を持つ．証明には，群$$\mit\Phi $$の標準分解で，固定した単位胞に属する各対称元要素が，剰余類$$Tg_{i}$$の代表元となる演算子$$g_{i}$$に対応していることに注意しよう．共型群$$P2/m$$では，標準のセットは，例えば，点群$$2/m$$の単位胞の左上角（原点とする）を通過する対称要素（元）を含んでいる．非共型群$$P2_{1}/m, P2/b, P2_{1}/b$$では，これらの元は，一般には単一点を通過しないので，できるだけ原点に近いもの（これらの群の投影は，図２１４ですべての対称元が同一色であれば，それらと同型な色群に一致する）を選ぶと都合が良い．このように，非共型群の分解における，代表元$$g_{j}^{T}$$の選出法を固定し，それらの演算子$$[D_{j}|\alpha _{j}]=[E|\alpha _{j}][D_{j}|0]$$を比較しよう．
共型群$$P2/m$$の標準セットの演算子$$[D_{j}|0]$$に一致するようにこれらの"基底"演算子の直交部分$$[D_{j}|0]$$を選ぶ．言い換えると，非共型群では，実あるいは虚の対称面と軸が，共型群でと同様，非共型胞で同一位置を占めるとし直交変換$$[D_{j}|0]$$を実行するが，引き続き次に，これらを変換$$[E|\alpha _{j}]$$で補う．簡潔に言えば，演算子$$[D_{j}|\alpha _{j}]$$中で記号$$D_{j}$$を$$g_{j}$$で置き換え，展開をあらわな演算子の形式で，剰余類$$Pg_{j}^{T}=\left\{ [E|\tau _{i}] \right\} [D_{j}|\alpha _{j}]$$書ける：
$$P1=P\left[ 1|0 \right] , P2_{1}=P\left[ 2|\displaystyle \frac{c}{2} \right] , P\overline{1}=P\left[ \overline{1}|0 \right] , Pm=P\left[ m|\displaystyle \frac{c}{2} \right]$$ for $$P2_{1}/m$$
$$P1=P\left[ 1|0 \right] , P2=P\left[ 2|\displaystyle \frac{b}{2} \right] , P\overline{1}=P\left[ \overline{1}|0 \right] , Pb=P\left[ m|\displaystyle \frac{b}{2} \right] $$ for $$P2/b$$
$$P1=P\left[ 1|0 \right] , P2_{1}=P\left[ 2|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] , P\overline{1}=P\left[ \overline{1}|0 \right] , Pb=P\left[ m|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] $$ for $$P2_{1}/b$$
ここで，$$a,b,c$$は並進群$$P$$の基底ベクトルを示す． 基底演算子のあらわな形$$[D_{j}|\alpha _{j}]=[E|\alpha _{j}][D_{j}|0]$$は第１系の合同式の法となる係数の特定な集合セット$$[E|\alpha _{j}]$$を作る．（15），（16）を用い，法則（３）による剰余類のクロス積を行うと，
$$P[D_{j}|\alpha _{j}] \cdot P[D_{l}|\alpha _{l}]=P[D_{j}|\alpha _{j}][D_{l}|\alpha _{l}]$$
$$=P[D_{j}D_{l}|D_{j}\alpha _{l}+\alpha _{j}]=P[E|\tau _{jl,n}][D_{n}|\alpha _{n}]$$ (17)
商群の乗積表と，それと同時に合同式の法の第2系$$[E|\tau _{jl,n}]$$の正当性とが納得できる．例えば，２つの剰余類の積$$P2_{1} \cdot Pb$$，これは商群$$P2_{1}/b/P$$の元が，
$$P2_{1} \cdot Pb=P\left[ 2 \mid \displaystyle \frac{b+c}{2} \right] \cdot P\left[ m|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] =P\left[ 2m|\overline{2} \cdot \left( \displaystyle \frac{b+c}{2} \right) +\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] $$
$$=P\left[ \overline{1}|\displaystyle \frac{-b+c}{2}+\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] =P[\overline{1}|c]=P[1|c][\overline{1}|0]=P\overline{1}$$
などであることを見出す． ここで，$$c$$軸の周りの180°の回転はベクトル$$c$$を保存するがベクトル$$b$$は逆になるので，$$\hat{2} \cdot \left( \left( b+c \right) /2 \right) =\left( -b+c \right) /2$$である．積$$\hat{2}_{1} \cdot b=\left[ \overline{1}|c \right] $$は剰余類の代表系を構成する．
$$\left\{ 1,2_{1},\overline{1},b \right\} =\left\{ \left[0\right] ,\left[ 2|\left(b+c \right) /2 \right] ,\left[ \overline{1}|0\right] ,\left[ m|\left(b+c\right) /2 \right] \right\} $$
演算子の基底セットには属さず，これは（16）のために，係数の系$$\left[ 1|c \right] $$を用い：
$$ [\overline{1}|c]=\left[ 1|c \right] [\overline{1}|0] \equiv [\overline{1}|0]\left( \textrm{mod}[1|c] \right) $$
しかし，我々の特殊な場合は，$$j=2_{1}, l=b, n=\overline{1}$$
$$[E|\tau _{jl,n}]=[E|\tau _{2_{1}b,\overline{1 } }]=[1|c]$$
同様に，合同式の法の第２の系数を見つけることが出来る．別の表にcongruence合同関係の法$$[E|\tau _{jl,n}]$$の並進部分を書き出すことが出来る．それらに（16）を用い，係数$$2_{1}/b=\left\{ 1,2_{1},\overline{1},b\right\} $$により，群の乗積表を見出し，群$$2_{1}/b$$は群$$2/m$$に同型であることを確認できる．
$$ \begin{array}{c|cccc} \tau _{jl,n} & 1 & 2_{1} & \overline{1} & b\\[0mm] \hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm] 2_{1} & 0 & c & 0 & c \\[0mm] \overline{1} & 0 & -(b+c) & 0 & -(b+c) \\[0mm] b & 0 & b & 0 & b \end{array} $$
$$ \begin{array}{c|cccc} 2_{1}/b & 1 & 2_{1} & \overline{1} & b \\[0mm] \hline 1 & 1 & 2_{1} & \overline{1} & b\\[0mm] 2_{1} & 2_{1} & 1 & b & \overline{1} \\[0mm] \overline{1} & \overline{1} & b & 1 & 2_{1} \\[0mm] b & b & \overline{1} & 2_{1} & 1 \end{array} $$ $$\leftrightarrow$$ $$ \begin{array}{c|cccc} 2/m & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] \hline 1 & 1 & 2 & \overline{1} & m \\[0mm] 2 & 2 & 1 & m & \overline{1} \\[0mm] \overline{1} & \overline{1} & m & 1 & 2 \\[0mm] m & m & \overline{1} & 2 & 1 \end{array} $$
既知の群の合同式の法を見出すことは，それほど困難な課題ではないことがわかるだろう．逆問題―与えられた生成群$$T$$と$$G$$から非共型群を作る－では，種々の可能なバリエーションから一つ選ぶことが要求される．例えば，$$ G=2/m=\left\{1,2,\overline{1},m \right\} $$で，保存される部分群$$ G_{1}^{*}=\left\{1,\overline{1} \right\} $$を固定すると，残りの演算子$$2$$と$$m$$を用いこれらの係数に結び付け$$[E|\alpha ]$$元$$[D|0]$$の位数だけ乗倍すると群$$T$$の最小並進与える．この条件は，ただ３つの非同価結合により満たされ，次のようである：
$$\left( \left[ 2|\displaystyle \frac{c}{2} \right] ,\left[ m|\displaystyle \frac{c }{2} \right] \right) , \left( \left[ 2|\displaystyle \frac{b }{2} \right] ,\left[ m|\displaystyle \frac{b }{2} \right] \right) , \left( \left[ 2|\displaystyle \frac{b +c} {2} \right] ,\left[ m|\displaystyle \frac{b+c}{2} \right] \right) $$
これらは，それぞれ群$$P2_{1}/m$$, $$P2/b$$, $$P2_{1}/b$$において実現される．
演算子$$[D_{j}|\alpha _{j}]$$のあらわな形は，係数
$$2_{1}/m=\left\{ 1,2_{1},\overline{1},m \right\} $$, $$2/b=\left\{ 1,2,\overline{1},b \right\} $$, $$2_{1}/m=\left\{ 1,2_{1},\overline{1},b \right\} $$
による群の基本セットを確立することを可能にする（図214参照）．これらの群と群$$2/m$$間の同型性に基づき，対応する係数の体系$$[E|\tau _{jl,n}]$$を選べる．アナロジーを使って157の非共型空間群のすべてが見出せる．60シリーズ以上に分布している（参照、表12）（230群は73シリーズに属する）*．
任意の１シリーズにある群は，密接な関係があるが，（11の対掌対を除き）互いに同型ではない．これは，積則(1５)において，（12）に従って書かれた，第２の系の係数$$[E|\tau _{jl,n}]$$を見いだすことが出来る：
$$\left( [E|\tau _{i}][D_{j}|\alpha_{j}] \right) \bigcirc \left( [E|\tau_{k}][D_{l}|\alpha_{l}] \right) =[E|\tau_{i}][E|\tau_{k}]^{[D_{j}|\alpha _{j}]}[E|\tau_{jl,n}][D_{n}|\alpha_{n}]$$
共型群（$$\alpha _{j}=\alpha_{l}=\alpha_{n}=0$$）では，すべての量$$[E|\tau_{jl,n}] \equiv [E|0]$$（参照p.208）であるが；非共型群では，対応する元$$[D_{n}|\alpha_{n}]$$のすべての係数が$$[E|0]$$に変換される訳ではない．それらは，群シリーズごとに異なる．
同じ演算子の還元積の新しい演算を次のように定義する；
$$[D_{l}|\alpha_{l}^{(i)}][D_{l}|\alpha_{l}^{(j)}]=[D_{l}|\alpha_{l}^{(i)} + \alpha_{l}^{(j)}]$$
$$=[E|\tau_{l}^{(ij,k)}][D_{l}|\alpha_{l}^{(k)}] \equiv [D_{l}|\alpha_{l}^{(k)}]\left( mod[E|\tau_{l}^{(ij,k)}] \right) $$
同一シリーズの任意の２つの非共型空間群$$\mit\Phi_{nsym}^{(i)}, \mit\Phi _{nsym}^{(j)}$$を同一系列の$$\mit\Phi _{nsym}^{(k)}$$に対し：$$\mit\Phi_{nsym}^{(k)}=\mit\Phi _{nsym}^{(i)} \cdot \mit\Phi _{nsym}^{(j)}$$
導入された演算が結合則を満たすことを，自分で調べるのは容易である．演算子の逆元は関係$$[D_{l}|\alpha _{l}]^{-1}=[D_{l}|-\alpha _{l}]$$により定義される；恒等演算は共型シリーズの頭の群$$\mit\Phi _{sym}^{(1)}$$演算子$$[D_{l}|0][D_{l}|\alpha_{l}]=[D_{l}|\alpha_{l}]$$
群$$\mit\Phi_{sym}^{(1)}=T \ominus G$$，$$\mit\Phi _{nsym}^{(2)}=T \bigcirc G^{T}$$などは，群$$G \leftrightarrow G^{T}$$同型な法によるある群の元とみなすことも出来る．例えば，
$$ \begin{array}{c|cccc} & P2/m & P2_{1}/m & P2/b & P2_{1}/b \\[0mm] \hline P2/m & P2/m & P2_{1}/m & P2/b & P2_{1}/b \\[0mm] P2_{1}/m & P2_{1}/m & P2/m & P2_{1}/b & P2/b \\[0mm] P2/b & P2/b & P2_{1}/b & P2/m & P2_{1}/m \\[0mm] P2_{1}/b & P2_{1}/b & P2/b & P2_{1}/m & P2/m \end{array} $$ $$\leftrightarrow$$ $$2/m$$
$$ \begin{array}{c|cccc} & Pmm2 & Pmn2_{1} & Pma2 & Pmn2_{1} \\[0mm] \hline Pmm2 & Pmm2 & Pmc2_{1} & Pma2 & Pmn2_{1} \\[0mm] Pmc2_{1} & Pmc2_{1} & Pmm 2 & Pmc2_{1} & Pma2 \\[0mm] Pma2 & Pma2 & Pmc2_{1} & Pmm2 & Pmc2_{1} \\[0mm] Pmn2_{1} & Pmn2_{1} & Pma2 & Pmc2_{1} & Pmm2 \end{array} $$ $$\leftrightarrow$$ $$2/m $$
1面帯，2面帯，ロッドなどの対称性を記述する１次元空間群や，ネットワークパターン，層などの対称性を記述する2次元空間群も，点群$$G$$あるいはこれに同型な法$$T$$による群$$G^{T}$$で，対応する並進群$$T$$を拡大したものとみなすことができる．対称記号には，群の型を特定できるすべての必要情報$$T, G, G^{T}$$が含まれているので，この問題の詳細はここまでにしよう．