システム管理者
イスラムデザインの美しい壁紙をご覧ください．
pinterestからお借りたこのデザインは，Aziza（カタールのドーハを拠点とするアーティスト）によるものです．彼女は神聖幾何学とイスラムのパターンを研究しています．https://artofislamicpattern.com/#/6
この模様はとても魅力的で，イスラム模様の特徴がよく出ています．
色のグラデーションがとても素敵なのですが，ここでは幾何学の話をするので，色の区別ができない眼鏡をかけたと思って色は無視します．
この壁紙の成り立ちを，表紙の図に示しました．この図の平面群（全部で17種類あります）は，$$p4mm$$と記号で書かれるものです．このような繰り返しパターンは，モチーフ（非対称要素）となる図形を，$$p4mm$$の対称操作で配置し構成されます．
壁紙模様で，まず目につくのは周期（格子）で，これを平面群の記述の先頭に書きます．この例では，記号で$$p$$と書きました．2次元のブラベ格子のタイプは$$p$$（plain＝単純）と$$c$$（c-centred＝ｃ面心）の2つしかありません．そして，17種類の壁紙の対称性のうちの15種類が単純格子に分類されます．2次元の格子のタイプ分類（2次元のブラベ格子は5種類）は，前回の「ネットワーク・パターンの分類」で始めたところです（参照ください）．
この壁紙模様の例では，すぐ，黒い正方格子が目につきます．しかも，正方形の中心にも格子点のある（$$c$$面心格子）複合格子のように見えます．しかし，対角線の方向に目を配ると，一辺の長さが$$1/\sqrt{2}$$ になった，赤い正方格子（$$p$$格子）が見えてきます．
始めに気づいたc面心格子（黒い格子）は「正方形」の対称性ですし，後で気づいた$$p$$格子（赤い格子）も「正方形」の対称性です．$$c$$面心格子を作れたように見えましたが，黒い格子を$$1/\sqrt{2}$$に縮小し45°回転すると赤い格子と同じものになります．正方格子のは$$p$$格子だけで，$$c$$面心格子は存在しないことがわかります．
この繰り返し模様のモチーフ（最小の非対称要素）は，赤い格子の1/8（黒い格子の1/16）の直角２等辺３角形です．このような3角形の模様付きタイルを作れば，そのタイル８つで赤い格子$$p$$格子の単位胞内を作ることができます．出来上がった単位胞を並べれば，無限に繰り返す壁紙模様が出来上がります．このモチーフは非対称要素と呼ばれるように対称性のない最小タイルです．
最後に，平面群の対称性の記法で，格子タイプ$$p$$に続く$$4mm$$は，格子点の対称性を記述する点群の記号です．
（注）平面群と点群の関係を正確に言うと：平面群は，格子を法とする準同型写像で点群に帰着します．