数学的追補

群$$G$$はその部分群$$H$$に関して剰余類の直和に展開（ラグランジュ展開）できる．特に，$$H$$が正規部分群である場合が重要で，剰余類は$$H$$を法として群（商群）$$G/H$$をなす．

逆に，$$\{a_1,a_2, \dots,a_r\}=G^*$$とし，正規部分群$$H$$を群$$G^*$$で拡大して群$$G$$を得る．

正規部分群$$H$$を群$$G^*$$で拡大して群$$G$$が得られるのだが，$$G^*$$も正規部分群である場合は直積；$$G^*$$が非正規の部分群である場合には半直積；$$G^*$$が$$H$$を法として群となる（モジュラー群）の場合には条件積；で表現する．