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向きのある量の対称性
物理学や数学で使われる量には2種類あります。
大きさ（数値）だけで表現できるものと，大きさだけでなく空間における方向も示す必要があるものです．前者はスカラーと呼ばれ，後者は，ベクトル やテンソルと呼ばれます．例えば，質量，温度，密度などの量はスカラーで，（点の）変位，力，速度，電場などはベクトルです．ある物体の質量は，その物体が単位質量の何倍か，温度なら，摂氏スケールとして，温度の数値と符号（＋または-）を知る必要があります．
また，物体の変位を求めるには，その物体の移動距離cmと運動方向の両方を知る必要があるので，変位の大きさが長さで，運動方向を向いた矢印で示します．また，ベクトルは平行４辺形の法則に従って幾何学的に加算することが要請されます．
しかし，この要請にこだわり対象を制限するのは良くありません．
ベクトルの他にも，数値と方向をもつさらに広範な有向量を対象にする必要があるからです．有向量を決定する独立した（内部）パラメータの数が，その対称性と密接に関係していることを，だいぶ先になりますが取り扱うことになります．
では，有向量を表すのに使われる線分には，どのような対称性があるのでしょうか？この問いには多くの異なった答えがあり，仮定された条件の下では，そのどれもが正しい．例えば，４角柱プリズムの主軸は，周囲から切り離された状態で考えると，円柱と同じ対称性を持っています．同じ軸でも，プリズム全体と一緒に考えると，プリズム自体の対称性を持つことになります．
この例から，有向量は，図形の特異方向の存在と両立できるなら，任意の対称性を持てることがわかります．言い換えれば，有向量は，正多面体の対称類（図69の8列目）を除いて，特異点を持つ図形に許されるあらゆる対称性を持つことができます．
我々は，特に極限対称性の有向量に興味がある．というのは，物理学ではこの種の量が最も頻繁に登場するからです．
(a)
例えば、空間を移動する質点の速度は、静止している円錐の1枚のシート（∞･m）の形をしており、この量は、直線の断面で、「一方向」の矢印で表すことができます(図a)。これを完全に特徴づけるには、次のことが必要です。 (1)速度の数値(セグメントの長さ)、(2)空間におけるセグメントの向き（例えば、与えられた座標系とセグメントがなす角度を指定する）。(3) セグメントに沿った前方と後方の動きの違い、および、セグメントに垂直なすべての方向で動きに違いがないこと。このようなベクトルを極性と呼びます。電界強度は明らかに極性ベクトルです。
(b)
圧縮や引張を受ける円柱の軸方向の極性機械的応力テンソルの大きさは、圧縮や引張が常に両方向であるため、一方向きの矢印では表現できません。この種の方向量は、2つの矢じりが反対方向を向いた直線で表し（図b）、静止状態の円柱の対称性 m･∞:m を持ちます。
(c)
次に、軸性と呼ばれる方向量について説明します。例えば、軸を中心に回転する円柱の一様な角速度を表現したいとする。軸の速度と方向はこれまでと同様に直線で表すことができるが、回転方向は直線の矢印で表すことができない。そこで、回転方向を、回転の性質を示す循環矢印で表現する（図c）。このような量の対称性は ∞:m となり、円筒状の磁石の場合にはこれになります。磁石内の磁場は軸性ベクトルですが、磁石の両端の磁極は、実際には極性の極ではありません。
（d）
循環矢印がセグメントの両端で異なる方向を向いている場合は、新しい対称性∞:2の方向量（軸性テンソル）が得られます（図d）。この場合、対称面は存在せず、対称心もないので、量の右回りと左回りの形（反対の方向を持つ）を区別しなければならない（循環矢印の方向が反対になっている）。
この種の量の例としては、ワイヤーのねじれがあります。軸の方向、ねじれの角度（セグメントの長さに比例する）、ねじれの方向（循環矢印の方向で決まる）で指定される。結晶や溶液による光の偏光面の回転は、このクラスの量に属する。
極性と軸性の矢の組み合わせにより、回転する円錐の対称性∞を持つ極軸複合ベクトルが形成される（図c）。例えば、船のスクリュー、扇風機、プロペラなどの回転速度は、回転方向を示すセグメントの大きさ（速度に比例）と矢印の方向だけでなく、回転軸の「先端」の方向によっても決まります。後者の回転の質的な表示がない場合、その機械が正転で動作するのか逆転で動作するのかはわからないのである。
方向性のあるセグメントで表現可能な方向性のある物理量の対称性は、図a-eに示された5つの極限群によって網羅されている。2つのさらなる極限群（∞/∞･mと∞/∞）は、極性と軸性の（擬似）スカラー（無方向）量の対称性を記述するために使用される（図f,g）。スカラーの大きさに等しい長さの極球の任意の直径は、図bに図示されている種類の双方向矢印に対応し、軸方向のスカラー球では、図dに図示されている種類の双方向ねじり矢印に対応する。
すべての結晶学的直交群（および非結晶学的直交群）は、ピエール・キュリーによって最初に得られた上記の7つの極限群の部分群であることを思い出すべきである（図69参照）。
おわりに
我々は、特異点を持つ図形の対称性について説明することで、19世紀の第3四半期に開発された対称性理論の一部についての説明を終える。 科学の発展におけるこの段階は、ヘッセル、ガドリン Pierre Curie, Bravais, Fedorovの名前が挙げられます。後者は、特異点を持つ図形の対称性を”有限図形の対称性” と呼んでいるが、これはあまり良い言葉とは思えない。というのも、特異点をもつ図形の対称性に、無限の図形（双曲線、放物線など)もあるからです。