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クバンチクの問題3

私はこの問題が気に入っています.中学生向きですが,読解力と身に着いた科学的な常識があれば解けます.算数・数学というのは,数式の記述や論理の学習が目標ですが,そんな堅苦しい学習よりも必要なことは,生活や遊びで自然に身に着いた,読解力と常識が大事だと思います.

次の「アルプスを渡る」の問題では,以下の5つ(とりわけ出だしの2つ)がポイントです:
①題意を正しく理解する読解力→山頂を越えろとは言っていません.
②糸巻に糸を巻くなど生活の遊びの場で,自然に身に着いた力学感覚(力のバランスや手応え)★←特に大事
③円錐の展開図がひらめく(最短距離を引くのは展開だから)
④状況を読んで,2√2≒3と大胆に近似(融通の利かない数学バカでは行き詰る)
⑤半径2√2の円に内接する正3角形の一辺の長さは(ここだけが数学)

★物理学や円錐曲線などを知っている必要はありません.子供の頃に,積み木や水遊びや泥んこ遊びなどで,自然に体感したことのある手応えのことを,私はここで常識と言っています.
別に,物理や数学で数式を習わなくても,手応えが身についていれば,簡単に箸で豆をつかめるし,卵を握りつぶしたりはしません.職人は,器用にガラス細工をします.これは流体の粘性など面倒な計算をしても無駄なことで,その時の手応えで瞬時に反応できないと知識は役に立ちません.色々な分野で同様な身に着いた常識が大切でしょう.私は教室で知識を学ぶよりも,身についている手応えが一番大事だと思っています.
最近の子供は,ゲームやバーチャルな世界で間違った手応えを身に着けていますし,実際の泥んこの手応えや積み木のバランスや卵の殻の複雑な手ごたえを身に着けていないようです.大人になって機械設計をしても,構造の強度の感覚を持ち合わせていない.常識が身に着いていれば,直感(見た目でわかる)でわかる不安定なものを作ってしまう(計算結果がとんでもない数値になってもおかしいと思わない).
さて,この問題では,円錐の斜面に糸を巻くときの手ごたえをイメージしましょう.とがった頂点を通るように糸を巻いたり,山麓の円周に糸を巻いたりを,安定にできますか?斜面のどこかを経由するとき一番きつく糸を巻きつけられるはずですね.

■問:「アルプスを渡る」
一定の傾斜角45度の円錐形の山のふもとに人々が集まりました.山の高さは2000メートルです.グループは、山のふもとの正反対の地点に行きたいと考えています(図の点Aから点Bに移動します).AからBへの最短ルートは...

この仕事で地獄行? もう降りようよ.


解答選択肢(私は,Bを選びました.皆様はどうですか)
A. 4.5 km
B. 5 km
C. 5.5 km
D. 6 km
E. 6.5 km

クバンチクの問題1

なかなか面白い手頃な問題を引用します.

(問2)

3人の農民が宿に入り,休憩と食事をしました.彼らはホステスにジャガイモをゆでるように命じた後,眠りました.ホステスは客を起こさなかったが,ゆでたジャガイモをテーブルに置いて去りました.
まもなく,彼らのうちの一人Aが目を覚まし,自分の分け前を食べ,そして再び眠りに落ちました.
それから二人目の農民Bが目を覚まし,ジャガイモを数え,1/3だけ食べてまた眠りに落ちました.
それから,三人目の農民が目を覚まし,自分が最初に目を覚ましたと仮定して,ジャガイモを数えて1/3だけ食べました.
それから彼の仲間たち全員が目を覚まし,まだ8つのジャガイモが残っているのを見ました.3人はこれからそれぞれ何個のジャガイモを食べれば,最終的に公平に同じ個数のジャガイモ食べたことになりますすか?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(問3)

数学者は庭のプロットでヤギを飼っています.彼は,20 mの長さのロープの一端を結び付け,他端はヤギの首に結びました.ロープの中間は,フェンスに沿ってスライドできるリングにするワイヤーに沿ってスライドできるリングを通してあります(図を参照).結局,ヤギは移動できる範囲にある草を全部食べました.ヤギの到達範囲の境界となる弧を描きなさい.
図の説明 
дерево(木) ,кольцо(リング)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

クバンチクの問題2

クバンチクの問題は,小中学生が対象ですが無理のない興味ある問題です.
第一に必要なのは,問題の意味を理解する読解力です.

■クバンチクの問題1(私の解答例)
クバンチクの問題は解答が定まるとは限りません.解答は5択の選択肢があります.クバンチク問題1として前回紹介したのは解答できる問題の例でした.私の解答例をここに掲載します.

●問2
全体をXとして,Aが食べた後の残りはX(2/3),続いてBが食べた後の残りはX(2/3)^2,さらにCが食べた後の残りはX(2/3)^3=8個でした.
従って,Cは4個食べ,Bは6個食べ,Aは9個食べています.
Aの9個は全体の1/3に相当します.B, Cも9個づつ食べられますので,Bは後3個,Cは後5個食べられます.こうして8個の残りはBとCが食べてなくなります.

●問3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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■クバンチクの問題2

今回はクバンチクの問題2として,新たな例題を3つ紹介します.これらはみな2016年の年間ツアー(毎月4~5題を出題)で出されたものです.
挑戦してください.私の解答は,C,D,D です.

●問:島で
島の成人男性の40%と成人女性の60%は未婚です.島の成人人口のうち,結婚していない割合はいくらですか(一夫多妻制および同性婚は島では禁止されています)?

 

解答選択肢
A. 48%
B. 50%
C. 52%
D. 68.5%
E.結婚について考えるのは早すぎる

 

 

 

 

 

 

 


●問:都市計画
図は,ある都市の道路地図を示しています.合計2つの環状道路(共通の中心を持つ2つの円)と,この中心で等しい角度で合流する6つの道路があります.バーシャ(名前)は,AからBへの行き方を考えています.外部環状道路または内部環状道路を通る2つのルートのうちどちらが短いですか?

 

 

解答選択肢
A.同じ
B.内側の円
C.外側の円
D. 2つの円の半径の比率に依存
E.地下鉄はまだ速いです!

 

 

 

 

 

 


●問:平均速度
2つの山村AとBの間の道路は,上り坂または下り坂のどちらかになります.古いバスは,上り坂では平均時速30 km / h,下り坂では平均速度60 km / hです.AからBまで行き来する通しの平均速度はいくらですか?

 

 

解答選択肢
A.時速40 km
B. 45 km / h
C. 50 km / h
D.明確な答えを得るための十分なデータがない
E.古いバスは間違いなく道で壊れます

 

 

感染拡大ミクロモデルとスマホアプリ

■2008年8月4日に上智大が主催した数学月間参加プログラムで,
「感染症対策における数理モデルの役割」大日康史(国立感染症研究所)
という講演がありました.
数理モデルによる感染拡大のシミュレーションは,新型インフルエンザやバイオテロなどの対策の有効性評価に必要です.数理モデルには,SIRモデル,ibm(IndividualBasedモデル),Ribm(Realibm)などがあります.本研究で用いたRibmとは,実際に調査した個人の移動,所在の記録データ(首都圏では88万人)にもとづき,6分ごとに人々の接触状態(感染の機会)が定義されるものです.新型インフルエンザには,種々のタイプがあり鳥類間の感染は起こるが,鳥から人への感染は血液の濃厚接触などの場合に限られる(豚と人の感染するインフルエンザのタイプは似る).人に感染した場合に,人から人への感染が始まり拡大していく.[注)Covid-19は,また別のタイプで異なる数理モデルの開発が必要です]

このシミュレーションに用いたのは,例えば,以下のシナリオでした:
(第1日)初発例が外国で感染.(第3日)帰国.帰宅後(八王子)感染性を持つ.(第4日)出社(丸の内).発症.(第5日)国際医療センターに受診.東京都健康安全研究センターで検査診断.(第6日)対策へ:
このシミュレーションの結果として,
首都圏への感染拡大の様子や全国への拡大の様子が示されました.どのような対策(外出自粛,地域閉鎖,休校,住民全員が予防服用,....)をとると効果があるかを予測できるシミュレーションでした.


この現実的なシミュレーションのシナリオには,首都圏での人の動き(動態調査)のデータが使われています.
このような,人々の接触を考慮した感染拡大のシミュレーションはミクロなシミュレーションといいます.これに対して,統計集団としての陽性率,罹患率などのマクロな量の変化を追うのはマクロなシミュレーションといいます.

■つぎは,英国のハスルミアで行われたスマホアプリを用いた動態調査の実験です.インフルエンザ感染拡大のミクロなシミュレーションに必要な動態調査は,スマホアプリを開発して2018年になされました.それは以下のようなものです.
英国の全国的な市民科学実験は,BBC Pandemicというアプリを使いました.このアプリは,App StoreまたはGoogle Playからスマートフォンにダウンロードできます.
アプリを使用して,ボランティアは次の2つの研究に参加できました:
(1)サリー州の町ハスルミア(ロンドンの近く)に焦点を当てたもので,それはかなりの数の人々を登録するキャンペーンでした.ボランティアのスマートフォンの位置の連続3日以上の追跡を許可を得て実施します.
(2)英国全体の規模の大きい調査は,許可を得てボランティアが選んだ24時間にわたりボランティアの毎時の位置(1km^2のメッシュ精度)を記録します.

各研究期間の終わりに,ボランティアはその期間中に遭遇した人を入力するように求められます.

記録された移動データと自己申告した接触データとで構成された国のデータセットのみを取り出します.このデータを使用して,インフルエンザの蔓延に関する数学的モデルを開発し,それによってインフルエンザのパンデミックがどのようにイギリス全体に蔓延するかをシミュレートするのが仕事でした.

このバーチャルの大流行は,イギリス南部のサリー州にある町ハスルミアで始まり,番組シナリオに従い,BBCドキュメンタリーのプレゼンターはバーチャル実況をしました.ハスルミアで収集した詳細なデータは,バーチャルな国内感染爆発の火種となるハスルミア内の感染爆発のシミュレートに使用されました.結果の感染拡大地図(Kissler,Klepac, Tang, Gog,2018)を見るとロンドンで始まった感染は,何の規制もしなければ1週間でニューカッスルまで広がるようです.

 

 ■しかし,Covid-19では全く違う(まだわからない)

パンデミックの感染拡大は,インフルエンザとコロナウイルスで似ているようで,非常に異なるところが多いのです.上で述べたミクロなシミュレーションは2018年以前のCovid-19出現前のインフルエンザに対するものであることを再度強調しておきます.ご注意ください.
Covid-19はかなりの潜伏期があり,何の症状も示さずに感染している可能性があります.発症までに,インフルエンザの場合は数時間,コロナウイルスの場合は数日かかる可能性があります.そして,無症状の感染源があるので非常にやっかいです.潜伏期の考慮は本質的に重要で,単純なSIRモデルではなくSEIRモデルになることを,Gogらが指摘しています.そして,Gogらはインフルエンザで開発した感染モデルと全く違う感染モデルを作らなければならずまだ研究中です.

ピエールキューリーの原理という因果律

キューリー夫人は皆さまご存じでしょう.マリ・キューリーの夫の
ピエール・キューリーは,私の最も好きな科学者の一人です.
キューリーの原理も学生の頃からずっと心を奪われている事柄です.

水晶などの結晶に圧力をかけると電位が発生する圧電効果(ピエゾ効果)の発見で有名です.水晶振動子はこの性質を使ったデバイスです.
半導体や誘電体など色々な材料で,色々なデバイスが作られます.
例えば,半導体結晶を舞台にして,光子や電子が演じるパフォーマンス
を制御利用して,種々の半導体デバイスが作られます.舞台となる結晶世界は周期的なデジタル世界です.(周期的な空間は「結晶空間」とも呼ばれます)
周期的空間の数学(対称性)はとても重要で魅力的です.
この分野では,フェドロフ,シュブニコフ,ベーロフ,ザモルザエフなどの学者を輩出したロシアに伝統があり,1970年代にはロシアの本を一生懸命勉強したものです.

結晶の幾何学(古典結晶学の歴史)を,速足でレビューしましたが,
ここで,「キューリーの原理」について紹介しようと思います.

色々な「系(もの)」や「そこで起こる現象(こと)」の理解に,「対称性」の考え方が使われます.
ピエール・キューリーは,“結晶という舞台”で起こる”物理現象の対称性”を研究しました(1894).水晶結晶の圧電効果(対称心のある構造では起こりません)はその例です.
「舞台の対称性は,その舞台で起こる現象の対称性に反映されるべきだ」という因果律は,キューリーの原理と呼ばれます.
色々な分野で,原因(舞台)と結果(現象)のそれぞれの対称性の間でこの因果律がなりたちます.例えば,原因(結晶)の対称性G_cryst,結果(その結晶で起こる現象)の対称性G_pとすると,G_cryst⊆G_pです.
この逆が成り立たないのは,結果には注目している原因の他にも別の原因が反映されてもかまわないからです.
例えば,結晶にX線ビームをあてたとき,結晶を通過したX線の作る回折パターンの対称性には,その原因となった結晶の対称性が反映されています.
あるいは,運動量保存則が成り立つのは,空間が無限に広く一様であり,
平行移動しても環境が変わらないからです.
エネルギー保存則が成り立つのは,時間に関して変化がない時です.

因果律のいろいろな例を思いつくでしょう.舞台環境とそこで生きる生物の形.結晶構造とそこで起こる物理現象.万華鏡の鏡室と生じる繰り返し模様.こられもみんな対称性の因果律が支配しています.

「もの」や「こと」の対称性とは,変換をほどこしても,「もの」や「こと」が全体として変わらない性質のことで,
例えば,回転や鏡映で系全体が不変なら,その系には回転対称,鏡映対称があるといいます.

音楽や詩歌の形式や韻律.
絵画,壁紙模様,タイル張り模様,建物,などのデザイン.
.....,芸術を始め色々な分野で,対称性の考え方が役立ちます.

群論という数学

■群の考え方は色々な数学分野に現れます.そして,群論が適用される対象も様々な分野にあります.
群論を作ったのは天才ガロアで,群論は代数方程式の解法にかかわって生まれました.2次方程式,3次方程式,4次方程式は,その解法が発見されていましたが,5次方程式の解法はどうしても見つけられないでいた時代のことです.
f(x)=x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+eという5次式は,連続なグラフで,
xが負の方向に絶対値が大きくなれば,f(x)<0,xが正の方向に絶対値が大きければ,f(x)>0になるので,グラフy=f(x)はどこかでx軸を過るはずです.5次方程式f(x)=0には必ず1つの解xが存在し,そのxは係数で表されるはずだと誰もが思っていました.しかし,係数の加減乗除と冪根で表せる解は存在しなかったのです.1820年,アーベルは「5次以上の方程式には解の公式は存在しない」という証明を自費出版しました.アーベルは注目を浴びることなく1829年結核で死亡します.
根の対称性に注目し,群の理論を作り,これを証明したのはガロワですが,ガロワはこの証明を残して,決闘の銃弾により20歳で死亡します.1832年のことでした.
群論が生まれるまでに,ラグランジュ(1770),コーシー,アーベル,ガロア(1832)が関わっています.

■群論が生まれたのは,方程式の解法に関する分野でしたが,
群の概念は,正多面体の対称性(シンメトリー)と相性がよく,この応用の現場で群論を理解するのが良いと思います.結晶は原子や分子で構成される周期的な世界です.無限に繰り返す周期的な空間(結晶空間とも呼ぶ)には,構造の単位となるものが存在し(単位胞と呼ぶ),単位胞が周期的に積み重なって周期的な空間を作ります.単位胞を1つの点で表示すると,周期的な空間は点が配列した格子になるでしょう.つまり,周期的な空間は,(連続な空間ではなく)デジタル化された空間であるといえます.
結晶空間という舞台は,対称操作の集合が作る群という数学系が活躍するのに絶好な分野です.というわけで,結晶空間で群論が活躍するのを具体的に見て行きましょう.

■古典的結晶学について
水晶のいろいろな面の大きさは個体ごとに違うが,「対応する面どうしのなす角度を測ると,どの水晶でも同じ値だ」ということを発見したのはステノ(1669).この現象を,多くの鉱物で調べて「面角一定の法則」としたのは,ロメデリル(1772)です.
この法則は,「結晶の内部構造に原因がある」と洞察したのがアウイ(1783)で,彼は「結晶には単位胞が存在し.この単位胞が繰り返し並ぶブロック細工のようなものだ」と推論しました.
19世紀に入ると,結晶に座標軸(結晶軸)を導入し,結晶面に指数をつける方法が種々定義されました.それらの方法のうち,ミラー (1801~1880〉によるミラー指数が,今日,最も広く用いられています.
「その結晶の単位胞の形に合った座標軸を決めると,すべての結晶面のミラー指数は,簡単な整数で表せる」=結晶面の有理指数の法則といいます.
これは,アウイの述べた「結晶=ブロック細工説」を裏付けるすることにほかなりません.
この時期には, 結晶面の方位(=結晶内部に置いた原点から,各結晶面へ垂線を立てて,結晶内部の原点を中心とした単位球表面に投影する)を,2次元平面へ写像する種々の等角投影法(ステレオ投影など)も生まれています.
3次元の結晶点群は32種(ヘッセル,1830〉,3次元の空間格子(結晶格子)のタイプ=ブラべ格子(1848)は14種が数え上げられ,続いて,3次元の空間群の夕イプが230種であることが,フェドロフ,シェンフ リーズ,バーロー(1885~1894〉により(3名は互いに独立に研究した)数え上げられました.これらは,すべてX線の発見(1895)以前の純粋な数学的業績であるのが興味深いことです.ラウエの回折実験(1912)は,結晶が周期的な内部構造であることの決定的な証拠です.

ーーーーー
今後の計画

空間群をΦとすると,並進群(格子)Tは,空間群Φに正規部分群として含まれるので,並進を法とした群Φ/Tは,点群Gに同型である.ということを徐々に説明します.

イスラムの数学と都市の発展

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■ゼロとアラビア数字
最古の記数法は五進法だそうです.5をひとまとめにしたものを「1クワイン」といいました.バビロニアには60進法,20進法を使ったところも,12進法を使った場所もありました.「1ダース」です.
12は約数が多いので10より便利なところがあります.けれども,大勢は10進法に落ち着きました.われわれが指を折って数えるところから10進法が各所で使われるようになったと推測されています.
10進法での記数法には0と1~9までの数字が必要です.これからアラビア数字の起源に思いを馳せるわけですが,0と1~9までの数に対応する何らかの記号があり,それ以前に十進法が確立していなければなりません.
参考書:「アラビア数学奇譚」マオバ・タハン(越智典子訳)白揚社
■イスラムの数学
フワーリズミー(780頃~850頃)は、アッバース朝のバクダッドで活躍しアラビアの数学を確立した代数学の創始者です.
彼の時代のバクダッドをのぞいてみましょう.
ゼロの役割には,位取りの役割と4則演算の対象となる数の役割があります.まず位取りに関していえば,この時代,大勢は和算もイスラムも10進法でありましたから,数を表示するには,・・・・,十万,万,千,百,十,一,の位の場所に,0~9に相当する数字を書いたり,
マッチの軸木のような算木を置いたり,そろばんでは玉で表示したりします.どんな記号を使っても似たようなもので,ゼロの記号がないときはその位は空にしました.アラビア数字に関しては,エジプト,インドから
伝えられたゼロの概念がイスラムで発展しヨーロッパに伝わり完成されたという流れでしょう.
どのような数字でもかまいませんが,0があると空を位取りの場所に配置するよりも明瞭に数字を表示できます.
これが位を明瞭にするので,十,百,千,万,十万,百万,千万,億,...と際限なく単位が必要になることが避けられます.これはイスラム数学の画期的な成果でしょう.
次に,4則演算の対象としてのゼロについてです.分数全体の集合(=有理数)の中で4則演算を自由に行えます.
ただし,ゼロで割ることは禁じられていますのでご注意ください.
ギリシャでは幾何学が盛んでしたが,イスラムの数学ではアラビア数字の記数法を用いて,代数や方程式が進みました.
特に,三角関数が生まれて発展しました.われわれが高校で学んだ加法定理や倍角の公式やそのほか様々な三角関数の公式が証明され,本が出版され,三角関数の数表も発行されました
■平和の都,バクダッド
1100年前のバクダッドは人口100万人の世界最大の都市でした.
その賑わいはまさにアラビアンナイトの世界です.イスラムの教えのもとに
“平和の都”と呼ばれ,アッパース朝宮殿は建築工学,幾何学の粋を集めます.イスラム帝国は,東ローマ帝国と中国(唐王朝)の間に位置し交易に便利です.コーランは“神は商売を許したもうた”と商業を奨励し,売買の証人たる仲介人がいて契約と公正な取引が行われたそうです.
最古の小切手(エジプトの商人が振り出した)も発見されています.
チグリス川とユーフラテス川の間に円城都市(直径2.3km)が建設され,
これを中心とする見事な中央集権行政システムが出来上がりました.
バクダッドに集まる4本の街道は東西南北に延びヨーロッパはスエーデンまで交流があったということです.
(バイキングも正式に貿易しイスラム銀貨が流通しました)
■科学や医学,都市の発展
8世紀に成立したアッバース朝では,カリフや宮廷のワズィールたちが保護をうけ,第7代カリフ,マアムーンが創設した研究施設バイト・アル=ヒクマ(智恵の館)には多くの科学者が集まり,ギリシャ科学のアラビア語への翻訳が進めらました.マアムーンに仕えた科学者・数学者のひとりが,
フワーリズミー(780頃~850頃)でした.
科学では,古代エジプトに起源を持つ錬金術の実験が繰り返され,元素記号が生まれ,文学では,アラビアン=ナイトが生まれ,唐で発明された製紙法もキルギスの戦いの際に伝わりました.
バクダッドには100軒を越す書店があったそうです.
百花繚乱.当時のバグダードのにぎわい言ったらすごい.見たかったですね.イブン・シーナは最先端医学の医学典範を著し,世界初の総合病院がバクダッドに作られました.
病院は寄進され,その運営費も,周辺の市場の売り上げ寄付で行うワクフという相互扶助の制度が,公共施設を支えたそうです.
円城都市を中心に,モスク3万,多くの市場と市場には100店を超す店があったそうです.500年間繁栄したイスラム帝国は,1万2千のモンゴル軍により滅亡しました.チグリス川は血で染まり,本のインクで青く染まったそうです.
アラビア語に訳されたアリストテレスなどギリシャの古典や発展したイスラムの科学は,その後ヨーロッパに伝わりラテン語に翻訳されルネッサンスが花開きます.
参考:

ドキュメンタリー 文明の道「第06集 バグダッド 大いなる知恵の都」
https://www.youtube.com/watch?v=ehEuTnLfOME&feature=share

壁紙模様p3m1とp31mの違い

壁紙模様の対称性は,平面群で17種類に分類できますが,平面群p3m1とp31mの対称性はとてもよく似ています.
以下の2つはともにエッシャーの作品です.比較鑑賞しましょう.

     p3m1                         p31m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

どちらも3回回転対称のある繰り返し模様ですが,鏡映面の入り方に違いがあります.
白い線は鏡映面です.
P31mの方には,鏡映面が集まっていない3回対称軸がありますが
P3m1の方の3回対称軸の場所には,鏡映面が集まっています.
両者の絵から受ける微妙な印象の差は,図のモチーフもあるでしょうが,このような対称性の違いの影響もありそうです.

■正三角形の鏡室の万華鏡を作ると,p3m1の壁紙模様が観察できます.
しかしながら,p31mの壁紙模様は自然には得られません.
その理由は,p31mでは鏡室の内部の図柄が3回対称である必要があるからです.
鏡室の図柄は,ガラス屑が自然に分布して作る図柄なので,
それが3回対称であるなどという偶然はあり得ません.

  p3m1の例 万華鏡映像                  p31mの例  石英の結晶構造

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(注)平面群の記号p31m,p3m1の記法について:
p:単純格子,3:紙面に垂直な3回回転軸,
単位胞の辺(並進方向)に垂直な鏡mの有無,その他の方向の鏡mの有無,
(鏡のないときは1と記す)

 

美しい幾何学,p.100,p.110~112

星型多面体

https://i1.wp.com/vectorfield.net/wp/wp-content/uploads/2017/11/PB180047.jpg?resize=880%2C1024

 

 

 

 

 

 

 

 

東京都庭園美術館,姫宮の部屋

 

 

 

 

 

 

 

■ 星型正多角形(ダ・ビンチの星型)
 下の青や緑の図形は,星型正多角形の例で星型5角形(五芒星)と星型8角
形(ダ・ビンチの星型)です.頂点同士を結んだ赤い輪郭線は,それぞれ正5
角形と正8角形になり,凸多角形(凹所のない多角形)です.星型自体は,星状凸集合(領域内の点で,領域内の任意の点と結ぶ線分が領域内にあるよう点が存在する図形)ではあるが,凸多角形ではありません.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  青い星型5角形について詳しくみていきましょう.頂点Aから辺をA→C→E→B→D→A
と1周りたどると,辺の向き(→)が2回転することがわかります.あるいは,「5角形の頂点
を1つ飛ばしでたどって,2周して始めの頂点に戻る」という言い方もできます.このような
星形を { 5/2 } と表記します.
 星型8角形(ダ・ビンチの星型)でも同様で,右の図形は { 8/3 } です.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

星型5角形を 5/2 と書くのは,2×360˚/5=360˚/(5/2) だからです.この星型5角形が頂
点で5つずつ集まる { 5/2, 5 } は,星型小12面体になります.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■星型正多面体(ケプラーの星形正多面体より)
(1)正12面体をコア(芯)にしてできる星型「星型小12面体」
 右の写真の星型は,東京都庭園美術館,旧朝香宮邸,姫宮の部屋の照明器具にも使われています.
コアになるのは正12面体で,その12個の正5角形の面の上に,それぞれ正5角錘を取り付けた形
をしています.正5角錐の頂点は,それぞれ,芯となる正12面体の面に対応していますから,頂
点を結んでできる図形(赤の多面体)は,正12面体に双対な正20面体です.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

正5角錐の頂点(例えばA)の周りに,星型正5角形 { 5/2 } が5個集まっている立体です.
芯に正5角形の穴のある五芒星の板を,各頂点で5枚ずつ組み合わせると,この立体になりま
す.したがって,この星型正多面体はシュレーフリの記号で { 5/2, 5 } となります.
 さて,この星型小12面体 { 5/2, 5 } は,プラトンの正多面体(正12面体)を芯にして,その
正5角形の面に正5角錐を貼りつけた形でした.同様に,プラトンの正多面体(正20面体)を
芯にして,その正3角形の面に正3角錘(正4面体)を貼り付けてできる形は, 星型大12面体
{ 5/2, 3 } と呼ばれます.これら2つの星型は,ケプラーの星型多面体とも呼ばれます.序に,
この2つの星型に双対な,{ 5, 5/2 },{ 3, 5/2 } は ポアンソの星型と呼ばれます.
 星型小12面体は,五芒星の面F が12枚,稜の数E が30,頂点の数V が12ですので,
F−E+V= −6( 私たちの知っているオイラーの多面体定理では2)となります.これは星型
小12面体の空間が,球の位相と異なり,穴が4つ空いた浮輪と同じ位相であるためです.
(穴が1つ開くごとにF-E+Vは2づつ減ります)

 美しい幾何学,p152-154

 

 

万華鏡の数学

■万華鏡映像の美しさが我々の心をとらえるのは,「空間の完璧な対称性」のせいだけではありません.時間の流れとともに映し出される「千変万化だが一度きり」の映像に,生命を感じるからでもありましょう.
ワンドの中を降り行くすべてのガラス屑の運命は,運動方程式ですべて定まっているとはいえ,ときおりカオスの起こる期待に目が離せません.万華鏡は,対称性(秩序)とカオス(乱れ)の混在が魅力なのです.そして,合わせ鏡が生みだす完璧な秩序は,無限に繰り返される“結晶世界”に迷い込んだようでもあります.
万華鏡 “カレイドスコープ”は,物理学者ブリュースター卿の特許(1817)[発明は1816年]が起源です.特許には,2枚の合わせ鏡の交差角θ°が,360°を偶数で割り切る角度にする:
$$360/θ=2n$$,だたし,$$n=2,3,4,・・・$$ということが書かれています.


■平面群と市松模様
本来の市松模様はチェス盤のように正方格子が交互に塗り分けられたものですが,
3角格子などの場合でも交互に塗り分けられていれば市松模様と呼ぶことにします.
Fig1 


これらは皆,市松模様と呼ぶことになります.頂点で偶数個のタイルが会合している場合に市松模様が作れます.この状況は,ブリュースターの特許の「合わせ鏡の交差角θ°が,360°を偶数で割り切る角度」と同じことです.


万華鏡は鏡(位数2の対称操作)の組み合わせだけで作られます.
物体が1回鏡で反射すると鏡像(向きが裏返る),2回反射すると鏡像の鏡像になり始めの向きと同じになります.
市松模様の黒-白は,物体のある鏡室タイル(グレイ色)と同じ向き="正置像”を黒;鏡像=“裏返像”を白に塗り分けています.

■正方形の鏡室の万華鏡がつくる市松模様
Fig2 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/27/17073327/img_8_m?1446474652
図(1)万華鏡の鏡室タイルをグレイの正方形とします.
鏡室のフチの赤線は鏡(4枚)です.
図(2)1回の反射で4個のタイルの裏返像(黄色)が生まれます.
図(3)2回の反射で,その外側に8個のタイルの正置像(緑色)が生まれます.
図(4)3回の反射で,その外側に12個のタイルの裏返像(黄色)が生まれます.
このようにして,鏡室タイルはその鏡像を全平面に広げて行き,
平面を市松模様で塗りつぶします.

■3角形の鏡室の万華鏡は市松模様をつくるか?
Fig3 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/27/17073327/img_9_m?1446474652
1.左図の鏡室3角形ABCは90°30°60°の3角形です.
各頂点で3角形が偶数個集まっています.3つの頂点のまわりはどれも市松模様ができており,
全平面が市松模様であることがわかります.
2.右図の鏡室3角形ABCは45°60°75°の3角形で,
AおよびBのまわりは3角形が偶数個集まりますが,Cのまわりでは偶数個あつまりません.
そのため,全平面では市松模様が出来ないことがわかります.
3.鏡映操作の集合が平面群を作っている場合は,全平面が市松模様になりますが,
逆に,市松模様が何処かで乱れているなら,その鏡の組み合わせは平面群が作れない場合です.
そのような万華鏡のもう一つの例を(Fig4)に示します.
Fig4 http://blogs.c.yimg.jp/res/blog-09-2d/tanidr/folder/556602/27/17073327/img_2_m?1446474652