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これはオーボールという赤ちゃんのおもちゃです．球の表面は互いに接する大きい円20個と小さい円12個でできています．円を正多角形にすれば，いわゆるサッカーボールの形です．つまり，小さい円は正5角形，大きい円は正6角形に対応します．

（問）大きい円と小さい円の半径の比は？

球面多面体の正多角形の辺は球の大円でできていますが，多面体の正多角形の辺は直線でできています．この多面体の1つの頂点の周りには，正5角形，正6角形，正6角形が集まっています．このような多面体は［5,6,6］(シュレーフリの表記法)と記述します．正3角形の面だけが頂点で５つ集まっているのは正20面体で｛3,5｝と記述します．正20面体の頂点を切って（切り口は図の白い面），残りの面が正6角形になるようにすると，多面体［5,6,6］が得られます．

これは，上図のC60［フラーレン（60個の炭素原子からなる）分子．青球は炭素原子C］と同じ形です．

■さて，問の答えですが，オーボールの大きい円と小さい円は，フラーレンの正6角形と正5角形に対応することがわかります．
下図を見てください．

辺の長さの等しい正5角形と正6角形の外接円(内接円)半径比が答えです．計算すると　1:1/2sin36°≒1.176：１

 ■次の図に示す「組み合わさった立体」は，正20面体（水色）と正12面体（黄色）が組み合わさっています．それぞれの多面体のサイズは，辺の中央でちょうど重なるようにしました．入り組んで組み合わされている多面体は，正20面体｛3,5｝と正12面体｛5,3｝です．これらの正多面体は互いに双対です．
（注）｛3,5｝←→｛5,3｝のように，面の形と頂点に集まる数を入れ替えると，”互いに双対”な多面体が得られます．
サッカーボールもオーボールも，正20面体由来の正6角形（正3角形）の面と正12面体由来の正5角形の面からできています．サッカーボールの面に対応する頂点をもつ双対な多面体を作ると菱形30面体が得られます．
（注）正５角形の面に対応する頂点間と正6角形の面に対応する頂点間が，それぞれ菱形面の対角線になります．
下図の「組み合わさった多面体」で，黄色い頂点と水色の頂点を結ぶと菱形30面体が得られます．
菱形面の１つを赤い線で図に記入しました．この菱形面の対角線比は黄金比です．

多面体の見える万華鏡

reciprocalという言葉があります．経済などでは，互恵的とか対等とかいう意味で使われます．
結晶学では，結晶格子crystal latticeに対して，逆格子のことをreciprocal latticeといいます．
両者の関係は，多面体でいうと，面を頂点に，頂点を面に変換した多面体
（これを双対dualな多面体という）の関係と同じです．

例えば，シリコンの結晶格子は面心格子で，ディリクレ胞を描くと菱形12面体（左図）です．シリコンの逆格子は体心格子で，ディリクレ胞を描くと［6,6,4］半正多面体［いわゆるケルビン立体］（右図）です．

結晶格子中のデリクレ胞と逆格子中のデリクレ胞は，このように互いに双対です．格子latticeに対して逆格子reciprocal latticeとはうまく名付けたものです．
もちろん，対称性はどちらも同じ，正6面体（角砂糖）と同じ対称性です．菱形12面体と［6,6,4］半正多面体（ケルビン立体）の形が見える万華鏡を作りました．この万華鏡は，左から覗くと菱形12面体が，右から覗くとケルビン立体が観察され，両者の対称性は同じであることを理解するのに役立ちます．

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(注）用語（ディリクレ胞，格子，逆格子，面心格子，体心格子，半正多面体）は，説明なしに用いたので，別の機会に補足説明をいたします．

参考　「美しい幾何学」　　今，試し読みができるようです．
p.44～ 45　万華鏡で作る多面体
p.60～ 62　ディリクレ胞，格子

「美しい幾何学」

今年（2020年）のとっとりサイエンスワールドは，新型コロナウイルスのために残念ながら中止になりました．
2017年のとっとりサイエンスワールドin倉吉は，8月27日に開催されました．1,250人の来訪者があり，例年のように盛況でした．万華鏡ワークショップは30人クラスを4回実施し120人が作りました．2016年は，鳥取サイエンスワールドの終わった直後，翌々日に倉吉地震がありびっくりしました．多くの方が避難生活をし，サイエンスワールドの会場だった梨っこ館もガラス天井が落ちたそうです．隣のプールは2017年7月20日になってやっと利用開始にこぎつけました．白壁土蔵群，赤瓦館でも地震の被害がありました．

2017年に，その赤瓦二号館を訪れたとき見つけた御殿まりの写真です．

これらはみんな一人のご婦人が作ったものだそうです．お会いしたいものでしたが，残念ながら不在でした．
どれも美しく良いできですね．
正4面体群：正6面体群（正8面体群）：正12面体群（正20面体群）のどれがあるでしょうか？

Q1：さて私は，正6面体群（正8面体群）と正12面体群（正20面体群）のうちのどちらを選んだでしょう？

私が選んだのは，前者の方でした．

参考に，これと同じ対称性の図形を掲載しましょう．

これらはともに，半正多面体［4,6.6］ですが，立方体のx,y,zの方向に，4回軸があり，体対角線の方向に3回軸があります．2回軸のある方向も確認してください．（注）シュレーフリの記号［4,6,6］は，頂点の周りに正4角形，正6角形，正6角形が集まっていることを示しています．
結局，これらは皆，球面正6面体｛4,3｝や正8面体｛3,4｝と同じ対称性（点群）になります．（注）{4,3}もシュレーフリの記号と呼ばれますが，正4角形が頂点に３つ集まっていることを示しています．

Q2:　球面正12面体｛5,3｝や菱形３0面体の御殿まりを見つけましょう．このなかにありますか？

これらの対称性（点群）は，正12面体やその双対の正20面体と同じです．

一番下の立体の形は，菱形30面体です．菱形30面体は，12･20面体（半正多面体［3,5,3,5］）と双対な多面体なので，対称性としては，上の3つの立体はすべて同じです．
別項目・サッカーボール（フラーレン）に関連記事があります．

Q3:　この他に，半正多面体［6,3,6,3］があります．探してみましょう．

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美しい幾何学，p21，p46，p48　が関連します．ご参照ください

１．立方体（角砂糖）を積み重ねて，空間を隙間なく周期的に埋めることができます．下図の出発点にある黄色い立方体（シュレーフリの記号で｛4,3｝）を並べた図がそれです．このときの空間充填では「立方単純格子」ができます．
２．立方体の頂点を切り落とした（切頂といいます）立体を考えましょう．頂点の切り口は正3角形で，立方体の正方形の面が正8角形になる位置で切頂します．すると，下図の2番目のように，切頂正6面体（シュレーフリの記号で［3,8,8］）と正8面体｛3,4｝が組み合わさって空間を充填することがわかります．

３．下図の3番目は，立方体の切頂の切り口がさらに大きくなった場合です．立方体の正方形の面は45°回転した小さな正方形になります．このときは，正8面体｛3,4｝と半正多面体［3,4,3,4］（あるいは6・8面体と呼ぶ）とで空間を充填することがわかります．

4．切頂でできる正3角形をさらに大きく，切り口が正6角形になる位置で切頂します．このとき，組み合わされる２つの立体は同じ形になります．つまり，切頂正8面体（あるいは半正多面体［4,6,6］，ケルビン立体とも呼ぶ）だけで，空間を充填できます．このときの空間充填では「立方体心格子」ができます． 

■図の３番目，半正多面体［3,4,3,4］と正8面体｛3,4｝の組み合わせの図で，正8面体だけを抜き出すと，以下のように頂点でつながっています． 

このような構造は，ペロブスカイト CaTiO3 という物質の結晶構造に見られます．正８面体の頂点に酸素原子Oがあり，正８面体をつないで骨組みを作っています．　正８面体（青色）の中心にはチタンTi原子，骨組み中の空いた穴（黄色）の中心にはカルシウムCa原子があります．
　ペロブスカイト構造は，強誘電体や酸化物高温超伝導材料などの結晶構造に見られます．また地殻を作るケイ酸塩鉱物MgSiO3（カンラン石など）はマントル下部の超高圧下でこの構造になることが知られています．

美しい幾何学，p.63,64をご覧ください．

■エッシャーの繰り返し模様のようなモチーフをつくる

平行4辺形や平行6辺形タイルは，平面を敷き詰めることができます．

（１）平行4辺形とは下図の（A)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺どうしは同じ長さです．
向かい合った辺どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加えて図案のモチーフを作ります．
エッシャーの作品の2羽の鳥はこのようにして作られています．

（２）平行6辺形で平行な辺どうしが同じ長さの図形は下図の（B),（C)のような形です．
これらは，向かい合った平行な辺（同じ色に着色）どうしを突き合わせて平面を敷き詰めることができます．
向かい合った辺に同じような変形を加えて図案のモチーフを作るとエッシャーの様な繰り返す絵が作れます．私は，ハロウイン魔女を作って見ました．

（３）平行８辺形以上になると平面を敷き詰められないのは何故でしょう？平面は２次元ですから独立な並進ベクトルは２つa，b です．a，b を２辺とする平行４辺形が平面を充填する並進の単位（単位胞）となります．３つの平行辺のある6辺形もタイル張りが可能ですが，2次元平面内の3つ目の並進ベクトルをcとすると，a，b，c の間に c=b−a の関係があり自由はききません．4つ目は作れません．

■一つのタイルを配置するときに回転を許すと，凸６角形タイルで平面の充填ができるものは，以下に図示する３つのタイプがあります．

(注)任意の４辺形は，180°回転したものと組み合わせると平行６辺形になります．任意の3角形も，180°回転したものと組み合わせると
平行4辺形や平行6辺形になるので，平面を敷き詰めることができます．

■凸5角形によるタイル張り4種を発見した主婦マジョリー・ライスの話は，別の機会にします．凸5角形の場合は全部で15種類をコンピュターで数え上げ2017年に至り決着しました．

「美しい幾何学」p.68～71