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ラクダを3つに切る方法は?

Григорий Мерзон, «Квантик» №5, 2020

この記事の図はすべて掲載しますが,文章は冗長ですので私が全部書き換えました.要するに,この問題は,以下の図(らくだと言っている)を3つの部分に直線で切り分けて,それらを組み合わせて正方形を作れということです. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 この図(ラクダ)を見ると,うまく組み合わせれば,エッシャーの周期的な絵のように寄せ木細工が作れることに気づきます.それは下の図のようになります.ラクダのモチーフが周期的に繰り返されていることがわかります.

 

 

 



一つのラクダの頭に注目すると,右斜め上に次のラクダの頭があり,それらを結ぶ直線上に周期的に繰り返す頭が現れることがわかります.

この周期はいくつかというと,3,4,5の直角3角形(この記事ではエジプト3角形と呼んでいる)にあてはめると,周期が5であることがわかります.

 

 

 

このエッシャーの周期的な絵(寄せ木細工)のような繰り返すラクダの壁紙は,斜めに置かれた1辺が5の正方形を周期にしています(私の説明流儀では単位胞とよぶます).

従って,以下のように3つの部分に直線で切れば,組み合わせて1辺5の正方形が作れます.

これがこの問題の回答ですが,私は答えはこれだけではないことを指摘しておきたいとおもいます.

ラクダが3等分できる範囲にあるならば,単位胞の正方形はずらす(平行移動)ことが可能で,答えはこれだけではなくたくさんあります.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

そして彼が帰宅したとき、クヴァンチクは上の図は「ピタゴラスモザイク」といって,ピタゴラスの定理の証明になっています.これは9世紀にアラブの数学者アンナイリジとサビットイブンクラによって証明に使われたそうです.

アーティストAlexeyVayner

ラクダを3つに切る方法は?

Григорий Мерзон, «Квантик» №5, 2020 より

この記事の図には,不要なものもありましたので,必要なものだけ掲載します.文章は冗長ですので私が全部書き換えました.解が1つしかないような記述も私は気に入りません.要するに,この問題は,以下の図(ラクダと言っている)を3つの部分に直線で切り分けて,それらを組み合わせて正方形を作れという主旨です.パズルの問題として予備知識なしで考えるとなかなか難しいかもしれません.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

この図(ラクダ)を見ると,うまく組み合わせれば,エッシャーの周期的な絵のように寄せ木細工が作れることに気づきます.それは下の図のようになります.ラクダのモチーフが周期的に繰り返されていることがわかります.

 


一つのラクダの頭に注目すると,右斜め上に次のラクダの頭があり,それらを結ぶ直線上に周期的に繰り返す頭が現れることがわかります.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

この周期はいくつかというと,3,4,5の直角3角形(この記事ではエジプト3角形と呼んでいる)にあてはめると,周期が5であることがわかります.

 

このエッシャーの周期的な絵(寄せ木細工)のような繰り返すラクダの壁紙は,斜めに置かれた1辺が5の正方形を周期にしています(私の説明流儀では単位胞と呼びます).

従って,以下のように3つの部分に直線で切れば,組み合わせて1辺5の正方形が作れます.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

これがこの問題の答ですが,私は答えはこれだけではないことを指摘しておきたいです.

ラクダが3分割できる範囲にあるならば,単位胞の正方形はずらす(平行移動)ことが可能で,答えはこれだけではなくたくさんあります.

 

上の図は「ピタゴラスモザイク」といって,ピタゴラスの定理の証明になっています.これは9世紀にアラブの数学者アンナイリジとサビットイブンクラによって証明に使われたそうです.

アーティストAlexeyVayner

2の累乗の概算法

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/431670/Vsego_lish_stepeni_dvoyki

И. Акулич,«Квант» №2, 2012 に2の累乗の大きな数を求める問題があります.

(問題) 

$$S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{63}$$

$$S$$の値を計算しなさい.

$$2 S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ... + 2^{64}$$

$$2S-S=S=2^{64}-1$$

計算機を使えば,$$2^{64}-1=18446 744 073 709551615$$ と計算できるでしょう.
計算機が無くても,許容できる精度でおおよその答えを見つけることができます。原則として、日常生活では(そしてほとんどの自然科学では)2~3%の誤差が許容されます.
$$2^{64}$$をどのように概算したらよいかという問題です.

 $$2^4 = 16$$,$$2^{10} = 1024≒1000=10^3$$ だから,

$$2^{64}=2^4・(2^{10})^6≒16・(10^3)^6$$

しかし,この誤差はかなり大きい.結局,1024を1000に置き換えること続けて6回.
このため,1.024倍の誤差の6乗$$1.024^6$$の誤差になります.

1よりも何倍も小さい数xについては、次の近似式を使うと精度が高い.

$$(1 + x)^n ≒ 1 +n・x$$ これを使うと,

$$(1+0.024)^6≒1+6×0.024=1.144$$

従って,$$2^{64}≒16・10^{18}・1.144=18304・10^{18}$$ と補正します.その結果,

$$S≒2^{64}≒18,304,000,000,000,000,000,000$$となり(18304の後ろに0が18個),
これは正解と1%未満の誤差になります.

■注

1.数字を2のべき乗の和で表すのは,数字を2進数で表すときに必要になります.

たとえば,$$2^{10}+2^9+2^8+2^7+2^6+2^4+2^3+2^2=2042$$, 2進数で表記すると$$11111011100$$

2.この問題の最初の式は,次の一般式の$$m=64$$の場合になります.

$$2^m = (2^{m–1} + 2^{m–2} + ... + 2^0) + 1$$

3.次の性質も役に立ちます:

$$10^{10}=(2・5)^{10}=2^{10}・5^{10}$$

$$2^{10}>10^3$$, $$5^{10}<10^7$$

科学の発明:科学革命の新しい歴史・1

Алексей Левинのエッセイより抜粋 ИСТОРИЯ НАУКИ • 14.10.2016

ヨーク大学の歴史教授,デビッド・ウートンが表題の著書を出版しました.


'The Invention of Science' tells the story of the shaping of the modern worldThe central subject of this vibrant work is not really the inwww.csmonitor.com

 

 

 

 

 

ウートンは、科学革命の開始と終了の正確な日付を提唱しました:1572年と1704年。

ニコラウス・コペルニクスの モノグラフ天球の回転について(ニュールンベルクの出版社 Johann Petraeusから1543年に出版)。

 

ウートンは2つの理由から、コペルニクスの1543年を革命の開始とする従来の見解に同意しません。第一に、太陽中心(地動説のこと)[正確には太陽不動]コペルニクスモデルは、ケプラーとガリレオの研究の後の、17世紀の初めになってから天文学革命の要因になりました。16世紀の主要な天文学者は、コペルニクスモデルが天体の動きの計算を容易にすることは認めましたが、それが物理的な基盤を持っていることは否定しました(たとえば、砲弾がどの方向にも同じ距離を飛ぶという事実からも、地球回転の仮説は反駁できたと信じられました)。1580年代と90年代には、コペルニクスは天文学界に3人以下の信者しか持っていません、さらにそのうちの1人、ドイツのクリストフ・ロスマンは最終的に彼の敵の陣営に移りました。第二に、コペルニクスのモデルは、アリストテレスと古代の天文学者から受け継いだ地上世界とは根本的反する、月を越える(天上界)世界の絶対不変の概念をそのまま保持しています。ご存知のように、この概念は17世紀に完全に拒否されました。

コペルニクス前後の近代初期のヨーロッパの天文学は、非常に安定した研究対象でした。すべての天体は、大空で周期的な動きをし、それは永遠の世界秩序の現れと考えられていました。星は毎晩、天の同じ経路をたどり、明るさと数の両方で変化しません。彗星は唯一の例外でしたが、アリストテレスに続く科学者たちは、彗星を純粋に大気中の現象であると考えました。

このパラダイムは、1572年11月11日に最初の打撃を受けました。その夜、未来の偉大な天文学者であるティコ・ブラーエは、カシオペア星座の明るい星に気づきました。彼は、1574年3月に完全に消滅するまで、その輝きが徐々に薄れていくのを追跡しました。その前から、彼は1573年に出版され、ヨーロッパ中に衝撃を与えた本「DenovaetnulliusævimemoriapriusvisaStella」で彼の観察を説明しました。そのため、ブラヘはヨーロッパの科学者として初めて、星に予期しない変化が発生する可能性があることを発見しました(現在知られているように、彼は超新星爆発を見ました。(11月6日に韓国で、2日後に中国で、日本でも記述があります)。

左:TychoBraheの著書「DenovaetnulliusævimemoriapriusvisaStella」からの星座Cassiopeiaの描画。 超新星は文字Iでマークされています。
右:スペクトルのさまざまな部分のフレームを合計して得られた超新星の残骸のスナップショット。 チャンドラ望遠鏡のウェブサイトで、この残骸が2000年から2015年の間にどのように変化したかを見ることができます。
http://mvshelter.blogspot.ruからの画像


数年後、彼は、彗星は月を越える世界に属していることを証明しました。これらの発見により、ブラーエは天体の動きの膨大な量の正確な測定を実行することを目的とした研究プログラムを創始しました。デンマークの王フレデリック2世の寛大さのおかげで、ブラーエはエーレ海峡のヴェン島にウラニボルグ天文台を建設し、ユニークな観測器具とアシスタントの助けを借りて、21年間、星、惑星、月と太陽の観測の膨大なアーカイブを蓄積してきました。これは、品質と幅の点で、ヨーロッパだけでなく、中国とイスラム教徒の東の最高の天文台でこれまでに行われたすべてをはるかに上回りました。惑星が楕円軌道で太陽の周りを回転することをケプラーが厳密に証明することを最終的に可能にしたのはこれらの材料であり、それによってコペルニクスモデルの主な弱点を修正しました。これらの状況を考慮して、ウートンは新しい星の発見とティコ・ブラーエの天文学的研究の始まりを科学革命の出発点として宣言します。この年代学は、コペルニクスの英国の支持者で、天文学者、数学者のトーマス・ディッグスの活動とよく合っています。彼は1576年に、宇宙空間が無限に広がり、星が地球から任意に遠く離れている可能性があることを最初に認めた人(ただし、ディッグスは依然として太陽を宇宙の中心と見なしていましたが、真に無限の宇宙には中心はありません)。ウートンが提案する最後の瞬間は、ニュートンの「光学」(反射、屈折、屈折、光の色の扱い)の出版された1704年です。


科学革命がヨーロッパの文化に与える影響の規模を明確に示すために、ウートンは、さまざまな時代の住民の知識と認識を比較することを提案しています。 16世紀の終わりに、典型的な高学歴のヨーロッパ人(英国の紳士)は、ほぼ確実に魔女と狼狼の存在を認め、錬金術と占星術の信頼性を疑うことはありませんでした。彼らは、自然は真空を恐れ、磁石はニンニクの影響でその力を失い、殺人者の存在下で死体が出血し、彗星は災害の前兆であり、正しく理解された夢は未来を予測すると信じていました。彼らは、地球が動かず、宇宙の中心にあるという公理として受け入れました(おそらく、彼らはコペルニクスについて何か聞いていたでしょう)。彼らはアリストテレスを人類の歴史全体の中で最大の知的権威と見なし、彼らの自然に関する知識は、プリニー・ザ・エルダー、ガレン、プトレマイオスの研究、またはおそらくそれらのポピュラー書に限定されていました。 彼らはまた、個人的な図書館-2、3ダースの本を持っていました。

科学の発明:科学革命の新しい歴史・2

ウートンの著作を紹介したアレクセイのエッセイを読んでいます(続きです).1730年頃までの150年間を早送りで見ます。当時、同じ社会的および教育的地位を持つ英国人は、フランス、イタリア、ドイツ、さらにはオランダの同時代の人よりもはるかに優れた科学的知識を持っていました。おそらく、彼らはすでに望遠鏡と顕微鏡を通して見る機会があり、太陽系の機能がどのようなものかを知っていました。彼らは良い時計や、おそらく水銀気圧計を持っていて、それを使って天気を追跡していました。彼らは魔女、狼狼、魔法使い、または彗星関連の前兆を信じていませんでした。彼らは、虹が神の啓示ではなく、雨滴が日光を屈折させる結果であることをよく理解していました。彼らは蒸気エンジンについて聞いたり読んだりしていて、おそらく仕事でそれらを観察していました。彼らは目に見えない生物がたくさんいること、心臓は機械式ポンプのように血液を送り出すことを知っていました。彼らは未来を予測する可能性を否定し、おそらく聖書の奇跡を詩的な比喩と見なしました。彼らはニュートンを世界で最も偉大な科学者であり、進歩と科学への熱狂的な信念であると考えました。彼らの図書館は数百、さらには数千冊にのぼり、現代人類があらゆる点で古代世界をはるかに超えたことを疑ったりしませんでした。

ウートンは科学の発明(この本のタイトル)を可能にした知的道具立ての出現と進化をたどります。さまざまなヨーロッパ言語による発見と出現の重要なアイデアから始めます。このプロセスの開始は、彼の意見では、クリストファーコロンブスや他のスペインの航海士の旅が、中国ではなく巨大な新大陸への大西洋横断ルートを開拓したことを、ヨーロッパが知った16世紀初頭です。「アメリカの発見が幸せな偶然だったとしたら、それはさらに驚くべき偶然、つまり発見の発見につながりました」(p.61)。この結論は奇妙に思えるかもしれません。結局のところ、最大の地理的発見は以前にあり、アフリカ沿岸のポルトガル人の航海ではないでしょうか。しかし、彼らの旅は、新しいルートに沿っているとはいえ、すでに知られ予想されている目標への旅と認識されていました。そして、これは決して地理分野に留まりません。コロンブス以前の時代のルネッサンス精神の著名人は、失われた古代の文化的価値を取り戻そうとしましたが、新しい知識の誕生には至りませんでした。さらに、「カトリックの宗教、ラテン文学、アリストテレスの哲学は、新しい知識がまったく存在しないということを共通認識にしていました」(p.74)。知ることができるすべてはすでに知られており、時間の経過とともに蓄積された破損したテキストと誤解釈の修復が研究対象となりました。繰り返す循環過程としての歴史認識が支配していたのが16世紀です。華麗なイタリアの歴史家でマキャヴェリの友人であるフランチェスコ・ギチャルディーニは、「過去に起こったことはすべて、将来も繰り返されるだろう」と書いています。当然のことながら、そのような態度は、17世紀の初めにフランシス・ベーコンを始めとする、磁気学の研究者ウィリアム・ヒルベルト、ヨハネス・ケプラー、ガリレオ・ガリレイの発見が影響を与えるまで、知識の絶え間ない進歩の可能性を考慮する余地を締め出していました。

発見のアイデアを「育てる」ことは多くの結果をもたらしました。それは、16世紀の前半に、3次方程式、4次方程式の解法の探求に関連し始まり、その後、数学以外の研究にも広がり、誰が先に発見したかの議論が活発になりました。「このような論争は、知識が公になり、進歩的で、発見指向になったことを明確に示しています」(p.96)。17世紀には、個々の著者を発見に帰属させ、それに応じて、その著者の名前を認定された発見に冠するという伝統が生まれました。たとえば、ボイルの法則として知られている理想気体の法則は1708年にこの名前を受け取り 、ニュートンの重力の法則は1713年にこの名前を受け取りました。

ウートンは、すべての追加補充された発見のアイデアをヨーロッパの文化分野に含めることが、科学発明の基礎となった体系的な認知革新の重要な要因になったと結論付けています。歴史的に、彼らの最初の製造業者は、新しい土地を説明した地図製作者でした。このプロセスでは、数学者がすぐに参加し、次に解剖学者、植物学者、天文学者、物理学者、化学者が加わりました。彼らは皆、印刷機を利用して、テキストや図を正確かつ大量に再現することを可能にしました。「その結果、革新的で批判的で競争力のある新しいタイプの知的文化が出現しましたが、同時に正確さと信頼性に重​​点が置かれました」(p.107)。この文化は科学的活動の基礎を形成しました。

15世紀後半から16世紀初頭にかけての地理的な発見は、もう1つの重要な結果をもたらしました。コペルニクスは、すでにプトレマイオス系の改訂開始(具体的には1514年まで)した。地球を固体の球と見なし、その表面には海と海が点在するものです。この球は、両方の極を結ぶ軸の周りの空間空間で回転し、1日に1回転します。この視点は当時非常に新しく、誰もがまだ共有できいませんでした。たとえば、15世紀には、地球はより大きな半径の水球の表面に浮かぶ球と見られました。居住地は丸い島のようにこの表面から突き出ており、その形は半球に近づいていますが、決して球になることはできません。

何世紀にもわたって、このような地球の「モデル」は、当時の地理的概念と概ね一致していました。彼女は、アメリゴ・ベスプッチが赤道の南50度を離れてブラジルの海岸に航海した後で初めて、彼らと実際に衝突しました。この旅の説明は、ベスプッチの手紙「Mundus novus」(「新世界」)が1503年に出版された後、ヨーロッパで知られるようになりました。この手紙はわずか4年で29版になりました。それに基づいて、地図製作者のマーティン・ヴァルトゼーミュラーとマティアス・リングマン地球の表面が完全な球の表面のように見える新しい地図を描きました(1507年に公開されたWaldseemüllerの地図では、コロンブスによって発見された大西洋横断の土地は最初に大陸として表され、アメリカと名付けられました)。コペルニクスはこの概念に精通しており、彼の反省の中でそれを信頼していました。したがって、この場合の新しい地理は、新しい天文学の誕生の前提条件になりました。ウートンが書いているように、「コペルニクスの世界観はベスプッチなしでは起こらなかっただろう」。(p.143)

 

 

 

wikiより拝借