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Т-квадратelementy.ru
このフラクタルは、T定規の形をしています（英語ではT定規をT-squareと呼ぶそうです）。レース模様のようです。

始めに与えられた辺の長さ１の正方形（暗い部分）の中心に,①辺1/2の正方形を白く塗ります。次に，②正方形の4つの頂点を中心に，①の正方形の辺の1/2の辺の正方形を白く塗ります。このように繰り返し，次の世代で追加する正方形は，前の世代の正方形の頂点を中心に，辺の長さは前の世代の1/2にします。
無限回繰り返したときにできるフラクタルのフラクタル次元は，
log_{2}4 = 2　です。

無限に繰り返すと，始めに与えられた正方形のどの点をとっても、その近傍には白く塗りつぶされた点があり，始めに与えられた正方形のほとんどすべてが白くなり，残りの領域は0に等しく，フラクタルは始めに与えられた正方形（面積１）全体を占めます。しかし、塗りつぶされた部分の境界の長さは無限です。

(訳者による要約)

単純群とは，自明な正規部分群以外の正規部分群を含まない群です．乱暴な言い方をすれば，自然数では素数のようなものです．有限群を単純群の積で表すのは，自然数を素因数分解するイメージです．

（定理）有限単純群は次のいずれかと同型である．
１．素数位数の巡回群
２．5次以上の交代群
３．Lie型の単純群
４．26個の散在型単純群

 １～３は系列ですが，どちらにも属する群も存在し，この分類は重複を許すものです．４は系列に属さず存在する群なので散在型と呼ばれます．モンスター群は散在型単純群に分類されます．この記事の趣旨はこのような数え上げの問題では分類完了と言い切れないということで，有限単純群の分類に踏み込んで理解する必要はありません．

 この分類定理は，10年を越える500以上もある論文を繋ぎ合わせて得られる結論ですが，論理の繋ぎにギャップがある可能性はあり．分類に抜けがないとは言えません．理論全体を理解している人は10人いるかどうかで，今後とも証明が完全であることを証明できるかどうか疑わしいと言うことです．

結晶点群は32個ですが，この中の単純群は1,2,3,4(mod2),-1,mで，1は例外,3以外は位数2です．

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■数学は何処へ行くより３， Brian Davies（ロンドンキングスカレッジ）

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/164681/164685

これから説明する3番目の危機も、不必要な複雑さに関連していますが、ある意味ではもっと深刻です。この場合、私たちはコンピュータは使いませんが、「純粋数学」におけるコンピュータの証明が容認できない理由です。私が提供する例は、現代数学の中心的な分野の1つである群論に関連します。

1970年代に、100人を超える群論専門家が一種のコンソーシアムを結成し、単純な有限群の完全な分類を目標にしました。この問題は非常に骨の折れるものとして提起され、その解決策は、純粋数学で「フロー法」と「分業」を使用した唯一の例です。ダニエル・ゴレンシュタインの指導の下で、問題は「パッケージ」に分解され、世界中の数学者のさまざまなグループに割り当てられました。10年間の集中的な作業の後、3つの可算無限の系列族と、26個の散在型で構成されるすべての有限単純群の完全な分類をまとめることに成功しました［訳注）約500編の論文］。 「モンスター」と呼ばれる最高位数の散在型の存在は、コンピューターの助けを借りてのみ証明することができました。 幸いなことに、この問題をめぐる危機は、群分類の詳細に立ち入ることなく議論することができます。有限単純群が何であるかを知る必要さえありません。

1980年代には、群分類自体と同じくらい興味深いことが起こりました。外向きのポジティブな変化です。コンピューターを使わずに「モンスター」の存在を証明する方法の発見です。さまざまな数学者グループの努力を組み合わせて、模索された証明の大規模な研究を実施することが決定されましたが、期待される結果の代わりに、以前に受け入れられた証明の多くのギャップが特定されました。ほとんどの穴にはパッチが適用されていましたが、1990年に単純な有限グループの完全な分類が得られたという記述は時期尚早であると見なされるほど、深刻であることが判明しました。時が経つにつれて、このギャップはアシュバッハーとスミスの証明で埋められ、再びその証明は非常に正しいように見えました[3]。この最終的な証明の20巻のうち、これまでに公開されたのは不完全な5巻だけであり、これは定理が「証明」されてから四半世紀後のことです。詳細については、[3]、[27]を参照してください。プロジェクトに最も関心のある参加者の1人であるミハエル・アッシュバッハーは、いつの日か新しい有限単純群が発見される可能性を排除していません。
その特性がすでに知られているどれかに関連しているなら、大したことではありませんが，
アッシュバッハーは、根本的に新しい有限単純群である可能性を排除していません。その場合は、分類に関するすべての作業を最初から始めなければなりません [4]。Jean-Pierre Serre は用いられる証明の正しさと完全さに懐疑的であることを記しておきます [24]．

アッシュバッハーは、証明は「外見は十分に強い」と考えています。それは、特定された欠点が、証明のメインラインに影響を与えることなく、適度な量の追加作業でこれまでに修正できたからです。残念ながら、これは証明が正しいことを意味するものではありません。証明の強さは、そのリンクの最も弱いものによって決定されます。これまで、ドロップされたリンクが比較的簡単に新しいリンクに置き換えられたという事実は、これが将来何度も成功することを保証するものではありません。

個々のスレッドの切断があるネットワークの形の証明をイメージしましょう。ネットワーク全体の整合性を脅かさないで、どこかにハエが這うのに十分な大きさの穴があることは排除できません。ハエ（この場合は有限単純群）の大部分は捕らえられますが、すべてではありません。

数学的知識を相互に関連する事実のウェブと比較するという考えは、線形論理の役割を減らし、数学的証明の問題を確率論的平面に移します。これは必然的に不必要な複雑な構造につながります。この考えは新しいものではありませんが、数学者自身が向かうのは比較的最近です。同様の類似点は、特にアシュバッはー [4]によって与えられており、「古典的な数学」とは対照的に、データを整理するさまざまな方法が豊富な、情報集約型の科学としての現代の数学と生物学の類似点を示しています。

有限単純群の最終分類案の完成（徹底的な最終報告書を発行するという意味で）に関しては、自然な老齢化で主要な参加者を失ったために危機に瀕しています。さらに10年後、それらのほとんどは生命や数学から消え、分類を完了するのに十分なほど問題を深く理解している科学者は少ないでしょう。しかし、プロジェクトが徹底的な最終報告で終わったとしても、少なくともマルチボリューム証明の主要な行を理解していると主張する権利を持っている数学者は、おそらく世界に10人もいないでしょう。

したがって、次のような状況になります。数文で定式化された問題の解決には、数万ページのテキストが必要です。証明は完全に書き留められておらず、一貫して書き留められているわけではなく、おそらく書き留められることはなく、最後に、1人の個人が完全に理解することはできません。しかし、得られた結果は重要であり、群理論の枠組みの中でさまざまな問題を解決するために広く使用されていますが、その正確性は依然として大きな問題です。

もちろん、群分類の問題を解決する簡単なアプローチができる可能性もあります。しかし、同じように、これが起こらない可能性もあります。アシュバッハーは、（まだ記録されていない）利用可能な証明の推定全長が過去四半世紀で減少していないという事実を考えると、比較的単純な証明の可能性について懐疑的です。チューリングの研究から、証明が定式化よりも何倍も長い定理があることがわかります。実際、これら2つの長さの比率は任意に大きくすることができます。コーエンは、「中程度に複雑さの数理論の基本問題でさえ、圧倒的多数が合理的な理解を超えている」と確信しています[13]。したがって、将来的には、この種の新しい発見のみが期待できます。

数学は何処へ行くより2, 
Brian Davies, Notices of the American Mathematical Society, декабрь 2005, vol. 52, №11.

コンピュータプログラムを書いたことのある人は誰でも、最も単純で最も短いものでさえ、数学者とは異なり、間違いを許さないことをよく知っています。構文のわずかなエラーはコンパイラーによって認識され、そのようなプログラムの実行は即座に停止されます。コンパイラは2つの異なる変数に同じ名前を使用することをスキップしますが、プログラムの出力はほとんど意味がないため、このようなエラーに気付くことは困難です。多くの場合、数学的なエラーは、同様のタイプの単純な問題に対してプログラムを実行することによって検出されます。その解決策は事前にわかっています。この場合、問題の入力パラメーターを変更することで、モデルが予測どおりに動作することを確認できます。

標準ソフトウェアパッケージに含まれているユーティリティで発生する可能性のあるエラーと不正確さは、それらの重要性と発現の希少性のために、識別することははるかに困難です。それにもかかわらず、わずか数百行の長さのプログラムは、数学者の生活を信じられないほど楽にすることができ、プログラムをデバッグすることで最終的に正しく動作できることを示しています。長くて複雑なプログラムを使用すると、本当の問題が発生します。最近、すべての部門のコンピューターに誤ったソフトウェア更新がインストールされたため、英国政府の管理がほぼ1週間麻痺しました。

ソフトウェアの正確さの正式な検証は、応用数学論理の分野の専門家とビジネス担当者の両方の関心事です。特に、Windows XP［訳注）この論文は2005年］の信頼性の向上は、プログラムの機能の根底にある数学的アルゴリズムの正式な整合性チェックの数学的方法に基づく強力なソフトウェアの正確性分析ツールのおかげで達成されました。ただし、いくつかの点で、サイバネティクスと数学の問題は根本的に異なる面にあります。 Javaなどの一部のプログラミング言語の技術文書は、数百ページの長さになる可能性があります。これは、最も洗練された定理が必要とするよりもはるかに長いものです。ソフトウェアの「特異な」動作がバグなのか、プログラムの機能なのかを判断するのが難しい場合もあります。ハング（多くの場合、バッファオーバーフローが原因）は、間違いなくプログラマの欠陥です。たとえば、LATEXが、ユーザーの要求に応じず、何かをすることを拒否した場合、開発者がそのような機能を必要であるとは全く考えていなかったためで，明確なことを言うのはより困難です。一般に、大規模なソフトウェアパッケージの開発に不適切な技術仕様は、プログラマーによる技術仕様の不適切なパフォーマンスよりも、予測できない経済的影響を伴う壊滅的な障害を起こす原因です。

ソフトウェアの正しさの公式的証明により、一部のサイバーネティシストは厳密な数学に同じ方法を適用しようと試みましたが、現時点でこの分野の活動は明らかにうまく行っていません。以下の発言から、私が分析している分野では、正当性の公式的証明の実施に大きな困難が予見されていることがはっきりとわかります。他の分野では（たとえば、数学論理や代数で）価値のあるアプリケーションを見つけるかもしれませんが、これらの分野で働く専門家にこれを判断させてください。たとえこれらの詳細が重要でなくても、起こっていることの雰囲気を読者に伝えるために、ここで詳細を少しだけお話しましょう。数学的分析におけるほとんどすべての定理の証明は、外部の事実に基づいています。これらは読者が知っていることを意図しているため、通常は説明されません。例えば、ディリクレ境界条件を持つ有界ユークリッド領域でのラプラシアンのスペクトル分析に専念していると述べることから始めるなら、このトピックだけでもおそらく数百のモノグラフと数千の出版物があり、著者はそれらのほとんどに精通しているとして、この場合、著者は、読者が気付かない可能性のある、新しくてあまり知られていない論文のみを参照します。これは、そのような記事を読む人が、このジャンルの古典に精通している可能性が高いことを意味します。

この道筋に沿って多くの罠があり、時折それらに陥ります。数学的な分析では、同じ定理の複数のバージョンが存在することが多く、異なる初期の仮定に基づいて同様の結論が出されることを忘れがちです。モノグラフには、多くの場合、セクションまたは章の冒頭に、最初の仮定の単一の表示がされ、定理を使用して、その後、著者はどこにも仮定に言及しません。

多くの場合、証明のステップを正当化するとき、著者は元のソースを引用せずに、いくつかの古典的な結果を参照します。最近、私の学生の一人がマーサーの定理の誤適用を見つけました。マーサー自身の定式化は、1次元間隔でカーネルを使用して動作しますが、私はより一般的な定式化を使用し、説明はなしでした。学生が私のバージョンを立証するように私に依頼したとき、私が使用した解釈をカバーするのに十分な一般的な定理の主張を文献で見つけることができませんでした。半ダースの本をめくった後、私はこの証明を自分で書くことにしました。私のように、線形間隔の元の証明に精通している人なら誰でも、有限数の次元を持つケースにそれを拡張可能なことは明らかに見えます。しかし、一般的な形で定理を厳密に証明するのに4ページかかりました。私は、この場合に必要な結果の証明可能性が明らかであったため、重大な教育上の間違いを犯しませんでした。残ったのは、マーサーの証明のすべての論理ステップを1次元のケースから多次元のケースに丹念に転送することだけでした。結局、生徒は私の証明に満足しました。

専門家は、議論中の文脈に合うように古典的な定理を修正することが可能である場合、ほとんど本能的に「理解」します。どうやら、専門家を区別するのはこの能力です。時折、集まって、あらゆる領域の多かれ少なかれ完全な説明を含むモノグラフを書く力を持った数学者がいます。同僚は後で参照するものがあるので、これは大きな問題です。しかし、そのようなモノグラフは、作者が自発的または無意識に均質な文脈でそれを構築するため、実際の状況を歪めるだけである場合があり、そのようなモノグラフで与えられる多くの定理は、より弱い条件下でも当てはまります。

 
 
レムデシベルが新型コロナ治療に有効であるのか/ないのかの議論があります．このような疑問に終止符を打つには，十分な統計的解析が行えるデータが必要です．偏見のある仮設に立って解析を始めてはなりません．統計的解析のスタート台は，帰無仮説（ヌル仮説）が鉄則です．これは，証拠がないので因果関係はないと見なすことです［推定無罪のようなもの］．ただし，統計的結論がでた後でも，一つの症例が発見されただけでひっくり返る可能性があるのが，統計的結論というものです．これは結論に影響を与える非常に多くの要因があるからです．さらに，統計的結論を待っては手遅れになるという一面もあります．
統計的研究を行う際には，ヌル仮説に立ちます．そして，科学的実験あるいは臨床データに基づき，仮説の証明または反証を目指します．
ほとんどの場合，単一の「クリーンな」現象ではないため，結果の信頼性を保証するために測定を何度も繰り返す必要があります．したがって，得られたデータの統計的解析が必要になります．結果は多くの要因に依存するので，メインの要因とマイナーな要因を分離する必要があります．

たとえば，科学者が喫煙と肺がんの関連性を見つけたい場合，肺がんを患っている（または発症しなかった）喫煙者を1人見つけるだけでは不十分です．この科学者が喫煙と肺癌の間に関係があると主張できるようになるには，かなりの量のデータを収集して分析する必要があります．この種の研究では，ヌル仮説が重要な役割を果たします．ヌル仮説は，結果（あらゆる研究の最終目標）が存在しないという仮定です．喫煙と肺がんの関係を探る限り，そのような因果関係は存在しないというのがヌル仮説です．問題は，収集されたデータがこの主張を無効にするのにどのような意味で十分であるかということです．
実際は，喫煙と肺癌発生ではヌル仮説はずっと前に卒業しました．しかし，それを実証するための十分なデータがなかった頃は，これが単なる偶然の問題ではないということを証明できませんでした．大量のデータを得たので，ランダムな結果の可能性を最小限に抑えられ，ヌル仮説を卒業することができました．

ヌル仮説を卒業するためには，大量のデータを蓄積する必要がありました．科学者は「大きなサンプル」と言うでしょう．しかし，大きくなくても「質の良いサンプル」というものもあります．たとえば，ティコ・ブラーエの長年の正確な観測は，ケプラーの惑星運動の法則の発見につながりました．これは，ヌル仮説を拒否し，ケプラーの結果が正しいことを確認するのに十分でした．

病気とその疑わしい原因との間に相関関係があると主張する論文を読むときには，ヌル仮説を除外する前に，研究者が実際に十分な症例を調べたかどうかに注意してください．新型コロナの治療薬やワクチンに関しても同様です．

結晶空間は周期的な世界です．周期的な空間を，対称性で分類すると，3次元では230種類の空間群になります．2次元では壁紙群とも呼ばれ17種類です．

注）群というのは，
集合の元elementの間に演算が定義されて，任意の2元間で演算を繰り返して生じる元も集合に属する集合で，
（有限集合の場合も無限集合の場合もあります）

群の演算定義を満たす代数系のことです．

例えば，2次元の周期は，2つの独立なベクトル$$a,b$$を与えて，$$na+mb$$（格子点の集合）で表現できます．ただし，$$n,m$$は整数．格子点の集合の対称性は並進群で記述されます．格子点は，無限可算個ですから，並進群は無限群です．

結晶点群は32個ですが，この中の単純群は1,2,3,4(mod2),-1,mで，1は例外,3以外は位数2です．

　工事中！

カバーの図は，「美しい幾何学」p.76-84，p84準結晶より引用

 
ロジャー・ペンローズは，ブラックホールの研究で2020年のノーベル物理学賞を受賞しました．

ここでは，ペンローズのタイリングと準結晶を話題にしましょう．
参考：Alexey Panov、Pyotr Panov "Kvantik" No. 9，2019，アーティストAnnaGorlach
No.7と No.8の記事は，すでに別項で取り上げましたので，そちらをご覧ください．

■　ロジャーペンローズの非周期モザイク

ロジャーペンローズ．
写真：Biswarup Ganguly，Wikimedia Commons; CC-BA-3.0

準結晶の発見に先んじて，数学者の準備はできていた．
1960年代に，数学者は新しいオブジェクト－非周期モザイク－を発見し，研究を始めました．
モザイクとは，平面を完全に埋め尽くすような多角形のタイルで作られたパターンのことです．
非周期モザイクは，どのような平行移動でも自分自身に重ね合わせできないものです．

非周期モザイクの中で最も有名なのはペンローズモザイクです．このようなモザイクの断片を図22に示します．
これは，いくつかのタイプのポリゴンを使い特定のルールに従って組み立て，平面全体を埋め尽くします．
これは，宇宙の調和に掲載されたケプラーによる絵（図23）とよく比較され ます．
ペンローズ自身は，「彼は私がやったことに近いことをしようとしましたが，うまくいかなかった」と述べています．
＊）ケプラーのトリアコンタヘドロンは，現代の結晶学のシンボルの1つです．

図：22（左）ペンローズモザイクの断片．

図：23. 宇宙の調和から.

別のタイプの非周期なペンローズタイリングについてもう少し詳述します．
それらは2種類の菱形で構成されています（鋭角36°の 痩せたものと鋭角72°の太いものです）．
そのうちの1つを図24に示します．もちろん，前号の記事の図18ほど対称的ではありません．
並進で自分自身と重ね合わせができず，回転対称軸もありません
［訳注：局所的な回転対称はありますが，全域的な回転対称はありません］．
ただし，繰り返し五角形の星が表示され，72°= 360°/ 5回転するとそれぞれが重なります
［訳注：局所的な5回回転対称］，さらに，これらの星は2つのクラスに分けられ（図25），
一方のクラスの星は別のクラスの星と36°= 360°/ 10の回転だけ異なります．

図：24.　鋭角36°および72°の菱形のモザイク

有限数の平行四辺形からなる各領域は，モザイク内で無限に繰り返し，36°回転したものも無限に繰り返します．

図：25.　異なる色の星は36°回転だけ異なります

ここで，ペンローズモザイクの物理的特性について少し説明します．
■　アラン・マッケイ：モザイクの回折

アランマッケイ．
写真：Julyan-cartwright、Wikimedia Commons; CC-BY-SA-3.0

Alan McKayは，標準的物理実験手法を非標準的数学オブジェクトであるペンローズモザイクに適用することを提案しました．モザイクの各頂点を小さな円［ドット］に置き換えたドットパターンを縮小し，ドット間の距離が光の波長程度にしました．このミニチュアにレーザー光を入射し，シェヒトマンの実験のように，回折パターンは10回対称となることを得ました*)．マッケイの論文は，シェヒトマンが最初の実験を行った同じ1982年に発表されました．
シェヒトマンがマッケイのこの仕事について知っていれば，彼はそれを参照し，彼の業績の早期承認が得られたところですが，シェヒトマンは当時マッケイの発見に気付いていなかったと言います．
［＊）訳注：このような標準的物理実験は，オプティカルトランスフォームといいます．
縮小されたドットパターンがらの回折像が得られます．
ドットパターンと回折像の関係は，互いに2次元のFourier変換の関係にありますが，
厳密に言うと得られる回折像は位相の情報が打ち消された振幅の絶対値2乗になります．
そのため，回折像の対称性には必ず対称心が生じます．
回折像の対称性は5回対称ではなく10回対称になります．］

■　トリアコンタヘドロン（菱形30面体）とヘキサコンタヘドロン（星型60面体）

ロジャーペンローズとロバートアンマン．　
写真：Ludwig Danzer; MarjorieSenechalの記事「アンマンの奇跡」より

ペンローズの非周期タイリングの3次元アナロジーがあります．
そのようなモザイクの1つが，RobertAmmannによって発見されました．
これらは，前号の記事の図16の下部に示されているものとまったく同じ，
細長い平らな2種類の菱形の平行線から組み立てられています．
五角形の星が2次元のペンローズモザイクでよく見られるのと同じように（図24および25），
菱形30面体（トリアコンタヘドロン）は，アンマンの非周期空間モザイクや，60面の菱形の六面体でよく見られます．
星型60面体（ヘキサコンタヘドロン）は，菱形の多面体のリストにはありませんが，これは12個の凹所がある非凸多面体であるためです(図26)．

図：26.　黄金比菱形［訳注：対角線比が］から組み立てられた星型60面体（ヘキサコンタヘドロン）

その後，物理学者は菱形30面体（トリアコンタヘドロン）と星型60面体（ヘキサコンタヘドロン）の形で実際の準結晶構造を作ることができました．

最後に，ヘキサコンタヘドロンとペンローズのモザイクに関するいくつかの演習を行います．
• 60個の黄金比菱形を使用してヘキサコンタヘドロンを作りましょう．また，トリアコンタヘドロンと菱形のフェドロフイコサヘドロンの両方が，このヘキサコンタヘドロンの12個のキャビティすべてにきちんと収まっていることを確認してください．
• トリアコンタヘドロンとヘキサコンタヘドロンがアンマンのモザイクによく見られるという事実について話しました．実際，ヘキサコンタヘドロンは20個の細長い平行6面体で構成でき，トリアコンタヘドロンは10個の細長い平行6面体と10個の扁平平行6面体で構成できることを確認してください．
• ペンローズタイリングの十分に大きな部分では，痩せた菱形の数に対する太い菱形の数の比が黄金比φ= 1.618に近いことが証明されています．
図24を使用して，このステートメントを確認しましょう．
• ペンローズモザイクは，他のすべての多面体と同様に，菱形で構成されているためゾーン［訳注：晶帯］もあります．今回のゾーンは，無限に続く菱形のチェーンです．各菱形は、共通の側に隣接する2つがあり，これらの側は平行です．

フリーマン講演のこの部分の主旨を理解するのは私にはとても難しい．この第４の異端の紹介はスキップしていましたが，それも公正を欠くので掲載します．ただし，私の理解できるものに要約しました．私というフィルターを通して書き直したものですので，フリーマンの意図と異なるかもしれませんが，私の主張でもないことをお断りしておきます．
フリーマンの4番目の異端の考えは，生物学に関するもの－オープンソース生物学です．オープンソースソフトウェアとのアナロジーでこう呼ぶのでしょう．ゲノム操作をすべての生命を共同体とし水平伝播をどんどんやるとも聞こえ，私は主旨の理解ができません．

■ダーウインの幕間

種間競争によるダーウインの進化の時代は幕間だった．それ以前の時代も，それ以降の時代も遺伝子の水平伝播の時代である．約1万年前に単一種のホモサピエンスが生物界を支配し始め，文化の進化（ゲノムではなくアイデアの水平伝播）が原動力になる進化に変わった．そのスピードは1,000倍も速く，グローバリゼーションが進んだ．

カール・ウーズは，微生物のゲノム間の類似点と相違点を追跡することにより，微生物の祖先を調査し，すべての生き物が3つの原始的な枝から降りている生命の木の大規模な構造を発見しました．
ダーウインの進化の前に，水平遺伝子伝達と呼ぶプロセス（無関係な種間での遺伝子の共有）があったというのです．そして今もそうだというのです．遺伝子の水平伝播が普遍的であり，別個の種が存在しなかったダーウィン以前の生命の黄金時代を仮定しています．その頃，生命はさまざまな種類の細胞の共同体であり，ウイルスによって遺伝情報を共有し，進化は共同体の問題であり，最も効率的な細胞の遺伝子が共有されたため，共同体全体が代謝効率と生殖効率を向上させました．

新しい化学デバイスは、並行して動作するさまざまな種類のセルによって同時に進化し、その後、遺伝子の水平伝播によって単一のセルに再構築されるため、進化は急速である可能性があります。

しかし，ある日，原始的なバクテリアに似た細胞がたまたま隣人よりも1つ先に進んでいることに気づき，共同体から離れ共有することを拒否しました．その優れた効率により，共同体の残りの部分が共同生活を続けている間は，それは繁栄し，別々に進化し続けました．数百万年後，別の細胞がコミュニティから分離し，2番目の種になりました．．．．．

そして，おそらくウイルスを除いてコミュニティに何も残らなくなるまで続き，すべての生命は種に分けられました．現在はこうしてダーウィンの幕間に至っています．

 
フリーマンダイソンの講演の続きです．彼の最後の異端意見は核兵器についてです。折しも10月24日に，核兵器禁止条約発効に必要な50ケ国の参加を得た。90日後の2021.1.22に発効することになった。米露や日本は参加していないのは残念である。（訳者注）

Еретические мысли о науке и обществе • ВидеотекаМосква, ФИАН, 23.03.2009 • Наука и общество, Климат, Эволюцияelementy.ru
核兵器
そして最後の異端は核兵器についてです。私の意見では、これが最も重要なことです。異端者としての意見では、私たちと環境への最大の危険は核兵器であり、私たちの最も重要な仕事はそれらをできるだけ早く取り除くことです。私はこの異端の意見を最後に残しましたが、私自身はそれが最初であると考えています。私は少なくとも25年間それを主張して、さらに今日でもそれを主張します。世界は過去25年間で劇的に変化しました。何かが良くなり、何かが悪くなりました。想像もできなかった最高の変化は、ソビエト連邦が平和的に崩壊したことでした。私も想像もできなかった最悪の変化は、米国が予防戦争［訳注）テロとの戦いのこと］を開始したことでした。これらの変化の結果として、核兵器に対する人々の見方は変化しましたが、核兵器に関連する根本的な危険とそれらに対する手段は、少なくともほとんど変化していません。

今日、人々は、イラン、北朝鮮、パキスタン、いわゆる「不正国家」の手にある核兵器、アルカイダのようなテロリストグループの手にある核兵器について懸念します。この問題は核増殖問題と呼ばれます。本当に50年間そのような問題がありました。しかし、それを自分たちで解決することができません。私たちの主要問題は、自身の核兵器の問題です。私たちには、地球の人口のかなりの部分を一掃するのに十分な約1万の核兵器があります。ロシア連邦もアメリカとほぼ同じ量を持っています。これらの大量の武器の備蓄は、イランやパキスタンが手に入れることができる少量よりも、世界全体にはるかに大きな脅威をもたらします。ロシアは自分たちの核兵器を追跡できない懸念がありますが、私が米国の核兵器保管場所で、41個の水素爆弾が床に横たわり、つながれていないのを見た瞬間を忘れられません。私はそれらを注意深く数え、41個あることを確認しました。そのうちの1つか2つが欠けていても気付く人はいないだろうと思います。したがって、私たちの側もその武器を最善の方法で監視してはいません。

フリーマンダイソン．2009年3月23日，モスクワ，FIAN

あなたが核兵器について話すにあたり、2つの視点ー宗教と道徳があります。核兵器は大量殺戮の兵器であるため比類のない悪であり、神の前での犯罪であり、私たちの道徳的および宗教的義務はそれらを取り除くことです。他方、軍事的ニーズについて実践的に考えることもできます。核兵器は実用的な観点からは効果がない。皆さんご存じなので宗教的な議論はここでは語りません。核兵器は原則として悪であると同意しましょう。したがって、私は軍事的議論に焦点を当て、核兵器は実際には戦争勝利に役立たないと、皆様に説得しましょう。イランや北朝鮮が独自の核兵器を取得するのを防ぐために、核兵器で意味のあることはできません。私たちの理性は、いかなる軍事目的にも自分の爆弾の使用を許しません。いくつかの貧しい国との戦争に勝つために核兵器を使用することは問題です。核兵器は多くの人々を殺し、生き残った人々を私たちを深く憎むようにさせますが、それは戦争に勝利したことになりません。

このことから、私たちの外交政策の最も重要な目標の1つは、核兵器の完全廃絶であるべきと結論します。敵や友人が、秘密の武器をどこにも隠していないことを確認するのは難しい。ご存知のように、核兵器を隠すのは簡単です。私たちが核兵器を取り除くことを話すとき、私たちは、生物学的兵器が今日禁止されているように、これらの兵器は法律によって禁止されるべきです。これは、残りのすべての武器は、大規模で明確な搬送システムがなければ、違法で秘密にせざるを得ないことを意味します。それは、私たち自身がもはや核兵器を持っていないことを確信できます。私たちの核兵器がなければ世界はより安全になると私は信じています。奇襲攻撃の最も魅力的な標的は、例えば、原子力航空機運搬船であり、私たちは主にそのような標的を持っています。このような標的を取り除くことで、公海やペルシャ湾での戦争の可能性を大幅に減らすことができます。

武器は、一方的に、または多国間合意に達することによって、2つの方法で処分することができます。これらの方法は両方とも過去50年間にわたって試行され、時には成功しました。歴史から4つの例を簡単に紹介します。最初の懸念は、1963年に私が米国の武器管理および武装解除局で働いていたときです。当時、武器レースの過程でますます大きな水素爆弾が作られていました。その後、ソビエト連邦は、プロトタイプの100メガトン爆弾として宣言した65メガトン爆弾で首位に立ちました。レースの次のステップは、飛行機やロケットで運ぶには重すぎる1ギガトンの爆弾になるのではないかと思えました。ギガトン爆弾は、大きな潜水艦コンテナまたは無人自動潜水艦に配置され、海辺の都市を破壊するために使用され、巨大な津波を引き起こす可能性があります。しかし、最も血に飢えた空軍の将軍と海軍の提督でさえ、そのような爆弾を望んでいませんでした。ケネディ大統領と[大臣評議会]フルシチョフ議長は、この狂気を終わらせ、大気中での核実験を禁止することに合意した。その後のすべての核実験は地下で行われなければなりませんでした。そして実際の地下試験は約10メガトンに制限されています。その後、武器レースは別の方向の競争になり－より小さくてより強力でない爆弾に向かいました。しかし、ケネディとフルシチョフは、武器競争をさらに遅らせるであろう完全な核実験禁止を交渉する機会を逃しました。

私の2番目の例は、1969年のニクソン大統領による生物兵器の破壊に関するものです。それはニクソンが大騒ぎせずに静かに行った一方的な決定でした。国際交渉も上院の承認手続きも必要ありませんでした。この決定の反対者は、彼らの異議を公に表明したり、この決定の採択を法的に遅らせたりする機会を得ませんでした。ニクソンは、生物兵器に関連するすべての政府プログラムを停止し、すべての在庫を破壊する必要があると単に発表しました。これは、ハーバードの生物学者マシュー・メセルソンが、ニクソンの国家安全保障顧問であったヘンリー・キッシンジャーの隣に​​、いわゆるダチャであるケープコッド半島に夏の家を持っていたという事実によるものでした。メセルソンはキッシンジャーを説得した 生物兵器を取り除く時が来たと、キッシンジャーはニクソンを説得した。この件に関する議会会議で、メセルソンは生物兵器プログラムを担当する陸軍将軍に「これらの兵器をどの程度正確に使用する予定ですか」と尋ねました。そして彼らは答えることが何もありませんでした。将軍たちは、私たちが生物兵器で攻撃されたとしても、それに応じて私たち自身の生物兵器を使用する現実的な計画がなかったことを認めざるを得ませんでした。純粋に軍事的な理由で、私たち自身の武器は役に立たなかった。ニクソンがこの決定を下した3年後の1972年に、彼は生物兵器を非合法化する国際条約を交渉し、ソビエト連邦はその条約に署名しました。この大会の条件が満たされているかどうかを確認することは不可能でした、そして実際、その後のソビエト連邦では、秘密の生物兵器プログラムが続けられました。それでも、このコンベンションでは、それがない場合よりもはるかに良い結果が得られました。ソビエトのプログラムは秘密のままであり、生物兵器の公開展開はありませんでした。テロリストによる生物兵器の使用の脅威は残っていますが、テロリストが盗むことができる生物兵器の独自の在庫がまだある場合、この脅威ははるかに深刻になります。

私が与える3番目の例では、武器を取り除く試みは失敗しました。1986年、レーガン大統領と[最高ソビエトの幹部会の議長、当時CPSU中央委員会の事務局長]ゴルバチョフはレイキャビクで会合し、武器管理協定を交渉しました。レーガンは核兵器の完全廃絶を熱心に支持しており、ゴルバチョフも同様の見解を持っていました。彼らは顧問から逃げ出し、1対1で話し始めました。彼らは、あらゆる種類の核兵器をすべて排除するという合意に非常に近づいています。しかし、2つの理由で彼らはこの合意に達することができませんでした。第一に、彼らは両方とも現状の劇的な変化を致命的に恐れていた公式の顧問を持っていました。第二に、レーガンは彼のミサイル防衛プログラム「スターウォーズ」を非常に大切にしていました。ゴルバチョフはスターウォーズシステムが先制攻撃システムに変換されるのではないかと恐れていたが、彼はそれをあきらめたがらなかった。ゴルバチョフの恐れは誇張されていましたが、根拠のないものではありませんでした。スターウォーズに無関心だったため、レーガンは歴史の流れを変えるチャンスを逃しました。

4番目の例では、彼らはなんとか武器を取り除くことができ、完全に成功しました。これは、ジョージW.ブッシュがアメリカの大統領だった1991年に起こりました。2年前、ゴルバチョフはドイツがベルリンの壁を破壊することを許可しました。そこでは冷戦は本質的に終わりました。ブッシュ大統領は、合衆国陸軍と海軍がすべての戦術的な核システムを取り除く時が来たと決定しました。その結果、警戒しているすべての武器の約半分が1日で一方的に削除されました。それは歴史上最大の核武装解除でした。これが起こる数年前に、私はロングビーチハーバーのミサイルクルーザープリンストンを訪れました。この巡洋艦は、私が住んでいる都市にちなんで名付けられました。それは2つの大きな箱に98個のトマホーククルーズミサイルを運びました、1つは核弾頭を備えた49で、もう1つは非核弾頭を備えた49です。キャプテンはどれを忘れないように努めなければなりませんでした。いつでも何らかの事故が発生し、海上で核戦争が始まる可能性があります。世界中の多くのオープンな場所で警戒している軍事戦術核兵器も同様に危険でした。今、これはもうありません。現在、軍隊と水上艦隊の両方が核兵器を処分したことを喜んでいます。彼らは今や核兵器の世話をする手間をかけずに、はるかにうまく仕事をすることができます。誰もこの武器を返還したくない。ブッシュ大統領は、タバコ産業に対する訴訟が解決すると同時に、作戦が発表されることを確認した。それで、アメリカのメディアはこのタバコビジネスに焦点を合わせました、そして核の武装解除は見過ごされて滑った。しばらくすると、ゴルバチョフはソビエトの戦術的な核兵器を取り除いたと答えた。

これらの4つの例は、一方的に取られた行動は、多国間交渉よりも効果的に根本的な武装解除をもたらす傾向があることを私に確信させます。もちろん、あなたは両方の方法で行動しようとする必要があります、両方が必要です。核兵器を排除するための最新のステップは、2006年に、レイキャビクでレーガンと一緒にいて、それらの武器管理交渉でレーガンのコミッショナーであったマックス・カンペルマンによって行われました。カンペルマンは、ヘンリー・キッシンジャー、ウィリアム・ペリー、サム・ナン、レーガン国務長官のジョージ・シュルツを含む他の著名な政治家とともに、米国の外交政策の目標として世界中で核兵器の廃絶を求める宣言を発表した。彼らはロシアとの交渉に戻ることを申し出た、レイキャビクで戦った後、他の国々を巻き込んで核兵器の破壊に関する多国間合意に達した。彼らはそのような合意をどのように実施するかを強調しすぎており、それが守られていることを確認していると思います。誰にも何も強制せずに、一方的な手順から始める方がよいでしょう。イスラエルとイランにいくつかの隠された保護区が残っていたとしても、主要な核兵器が公然と警戒されなければ、世界ははるかに安全になるでしょう。イスラエルとイランが参加することを望まない場合、そのような合意を実施する合理的な方法はありません。各国は、6か月以内に協定に参加または脱退しない権利を有するべきです。撤退の可能性は、すべての武器管理協定の別個の条項として詳しく説明されています。

アメリカやロシアの国民に核兵器を取り除くよう説得するために克服しなければならない主な困難は、核兵器がある程度の安全を提供するという深い確信です。この信念は、いくつかの神話、特に広島と長崎のアメリカの核兵器が第二次世界大戦の終結をもたらしたという神話によって支持されています。歴史家の長谷川らによる最近の研究は、この神話は真実ではないと私に確信させました。最も重要な証拠は、1945年8月に署名されたヒロヒト天皇の軍隊に宛てた公式の書簡に含まれており、そこで彼らは降伏を命じられました。この記述は核爆弾については言及しておらず、1945年に発生した状況と状況との類似性を強調しています。日中戦争の終わりに1895年に開発されました。ヒロヒトは日本の歴史をよく知っていたからです。1895年、日本は中国を破り、満州を占領した。ロシアを中心とするヨーロッパの勢力がこの戦争に介入し、満州に侵攻した。ロシア人はポートアーサーを占領しました。日本を近代大国に変えた明治天皇は、屈辱的な平和を受け入れました。明治はヨーロッパ人と恥ずべき和平を結び、ロシア人の日本への侵入を阻止した。ヒロヒトの書き言葉は、降伏を決意したとき、この類推を覚えていたことを示しています。彼は主に技術ではなく歴史に関心を持っていました。決定的な要因は広島と長崎の爆撃ではなく、ロシア人が戦争と満州への侵略を宣言した。

暴かれる必要があるいくつかの神話があります。ヒットラーが私たちより先に核兵器を受け取っていたら、それで世界を征服できたはずだという神話があります。ヒットラーが核兵器を持っていれば、ロンドンとここモスクワの多くの人々をーおそらく私もー殺すためにそれを使用する可能性は高かったですが、私たちの軍隊は1年前に戦争を終わらせ、1944年にベルリンに到着しました。水素爆弾の発明が核兵器の本質そのものを変えたという別の神話があります。実際、現在の核兵器の在庫を見ると、水素爆弾が発明されていなかった場合とほとんど変わりません。武器の破壊に関する国際協定は、厳密に施行されなければ意味がないという神話もあります。しかし実際には、多くの国際協定の実施を監視している人は誰もおらず、違反さえしているが、それでもなお、それらは引き続き有用です。良い例は、1817年のラッシュバゴット協定であり、これは米国とカナダの国境で平和を維持しました。したがって、これらすべての神話は真実ではありません。それらが暴かれるとき、核兵器のない世界への決定的なステップが可能になるでしょう。しかし、それが起こるためには、平和な市民と実用的な大統領と軍隊がこれに協力しなければなりません。

フリーマンダイソンの講演の続きです．（１）の主張がメインです．まだ（１）をお読みでないない方は，以下の（１）からご覧ください．　　https://note.com/sgk2005/n/n329b63ad54a4　

2番目の異端は濡れたサハラの謎です。私はいつもこの謎に魅了されてきました。今日は乾燥していて無人であるサハラの多くの場所で、人や動物の群れを描いた岩絵が見られます。これらの絵はかなりの数あり、驚くほど芸術的です。フランスやスペインの有名な洞窟の絵に匹敵します。サハラ砂漠の絵は、それらの洞窟の絵ほど古くはありません。それらは多くの異なるスタイルがあるので、数千年の期間にわたって創作されたように見えます。それらの最新のものはエジプトの影響を示しており、おそらく古代エジプトの墓を飾る図面と同時に作られました。50年前の1958年に出版されたアンリ・ロットの本「タッシリ・フレスコを求めて」には、そのような50の絵の驚くべき複製があります。それらのうち最高のものは約6,000年前にさかのぼります。彼らは、サハラが当時湿気を持っていたことを強く示唆しています。草や木の枝を食べているはずの牛やキリンの群れを支えるのに十分な降雨量がありました。象とカバもいました。当時のサハラは、今日のセレンゲティ*)の姿を見るはずだった。（＊訳注：タンザニある国立公園）

フリーマンダイソン． 2009年3月23日、モスクワ、FIAN。

約6,000年前、針葉樹が優勢なロシア北部には落葉樹林があり、当時の北部の気候は今よりもはるかに穏やかであったことを示唆しています。今日有名な氷河が横たわるスイスの山の谷には、当時も木が生えていました。今日溶けているこれらの氷河は、6000年前は現在よりもはるかに小さかった。6,000年前は間氷期でも最も暖かく湿った時期であり、最後の氷河期が終わった12,000年前から始まった時期です。この点に関して、私は2つの質問を提起したいと思います。まず、大気中の二酸化炭素濃度をさらに上げていくと、サハラが湿気を帯びていた6,000年前と同じような気候になるのでしょうか。そして第二に、サハラが乾燥している現在の気候と、サハラが湿気を帯びていた6000年前の気候のどちらかを選択する機会があった場合、現在の気候を選択する必要がありますか？私は、最初の質問には肯定的に答え、2番目の質問には否定的に答えます。私の意見では、サハラが湿気を帯びていた6,000年前の暖かい気候が好ましく、大気中の二酸化炭素の増加は、当時の気候を再び作るのに役立つかもしれません。私はこの異端の考えが真実であると主張しているのではありません。私にはわかりません。ただ考えても害はないと言っているだけです。サハラが湿気を帯びていた6,000年前のことは好ましいことであり、大気中の二酸化炭素の増加は、当時の気候を再び作るのに役立つかもしれません。

■ディリクレ胞

結晶内部は周期的空間で，その繰り返しの単位を単位胞と言います．もし，単位胞を点で表現するなら，点が周期的に並んだ格子ができます．［慣用的な述語としての”単位胞”の用法は，格子点を複数含む単位胞（面心格子，体心格子など）もありますが，格子点をただ一つ含むもの”単純格子”だけを単位胞と呼ぶことにします］．

１つの格子点を原点に置き，原点と隣接する格子点とを結ぶ線分の垂直2等分面を作ります．これらの垂直2等分面で囲まれた立体はディリクレ胞と呼ばれます．ディリクレ胞には，格子点がただ一つ含まれます．ディリクレ胞の形は平行多面体で，面と面をぴったり合わせて隙間なく空間の充填ができることは，ディリクレ胞の作図の仕方から明らかでしょう．ディリクレ胞の形は，その結晶格子の対称性を表現しています．結晶格子の対称性の分類（14種のブラベー格子）や7種の晶系はディリクレ胞の対称性に基づく分類です．

■結晶の物性量（スカラー，ベクトル）

結晶のスカラー特性（温度・密度など）は，測定の方位によらず１つの数にで定義されます．しかし，結晶は異方性のある物質なので，単位胞が$$10^{20}$$以上も並ぶ巨視的には均一一様であると見なせるが，充分小さいとも言える程度の体積要素を点として定義できます．

例えば，誘電体結晶（焦電性pyroelectricや強誘電性ferroelectric）は，その構造に起因する自発分極（外部電場が存在しなくても分極している）を持つ．対称性$$1$$（対称性がない）の結晶中の分極ベクトル$$P$$は，３つの独立なパラメータ：$$P_{1}, P_{2}, P_{3}$$で記述される．対称性$$m$$の結晶では，生じるベクトル$$P$$は，２つの成分$$P_{1}, P_{2}$$で記述できる．鏡映対称があると，成分$$P_{3}=0$$となる訳は，平面$$m$$内にない斜めのベクトルには鏡映同価なベクトルが必ずあるので，互いに打ち消し合うからである．回転対称軸のある対称類$$2,3,4,6,mm2,3m,4mm$$の結晶では，生じるベクトル$$P$$は，１つのパラメータ$$P_{3}$$で記述される．対称心$$\bar{1}$$ がある結晶類では，ピロ焦電性はない；すなわち$$P=0$$である．

■分極ベクトル

極性ベクトルの変換則$$r'=[D|0]r=Dr$$ を思いだそう．この法則で，$$r$$ を分極ベクトル$$P$$ に置き換え：$$P_{i}'=D_{ij}P_{j}$$ と行列形式で書く．例えば群$$2$$で，$$X_{3 }$$軸回りの2回軸（180°回転）を，以前に得た行列$$D$$のあらわな形式を用い，対称操作の行列積を行うと，以下の結果を得る．
$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
-P_{1} \\[0mm]
-P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $$　　　(1)

軸対称のため，系の180°回転後，

$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $$, 　すなわち，　　$$\left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}'=-P_{1}=P_{1}=0 \\[0mm]
P_{2}'=-P_{2}=P_{2}=0 \\[0mm]
P_{3}'=P_{3}=\textrm{const}
\end{array} \right. $$

さらにもう１つ，２階の極性テンソルで記述される特性例：誘電体に誘起される分極現象（図220）を考察する．結晶中の変位ベクトルDは一般には印加される電場E方向と一致しない（等方媒質では一致する）．これらの極性ベクトルの成分D_{i}とE_{j} との関係は，
D_{i}=?_{ij}E_{j}　　または， { { {D_{1}=?_{11}E_{1}+?_{12}E_{2}+?_{13}E_{3 } },{D_{2}=?_{21}E_{1}+?_{22}E_{2}+?_{23}E_{3 } },{D_{3}=?_{31}E_{1}+?_{32}E_{2}+?_{33}E_{3 } } }
係数?_{ij}は，誘電率テンソルの形で，べクトルD　と　E　を結び付ける．一般に，要素の対称性?_{ij}=?_{ji} があり，９つではなく６つの独立なパラメータをもつ．これから先は，テンソル?_{ij} の行列を，簡単化して，非ゼロの独立なパラメータのみの行か列の形式に書くことにする：
{ { ?_{11},?_{12},?_{13 } },{?_{12},?_{22},?_{23 } },{?_{13},?_{23},?_{33 } } }＝(?_{１１},?_{12},?_{13},?_{22},?_{23},?_{33})　　　
?_{ij}を係数とする２次の表面
?_{11}x_{1}^{2}+?_{22}x_{2}^{2}+?_{33}x_{3}^{2}+2?_{12}x_{1}x_{2}+2?_{13}x_{1}x_{3}+2?_{23}x_{2}x_{3}=1
は，対称テンソルに一意に関係づけられている；この表面は誘電率楕円体ellipsoid，あるいは一般に，観察される効果の特性を明確にする物理特性の屈折率楕円体indicatrixである．結晶の対称群G_{k} は，この表面の形（３軸あるいは１軸性の楕円体，球）と結晶物理軸 X_{1}, X_{2}, X_{3}に対する楕円体の主軸X_{1}', X_{2}', X_{3}' の方位を決定する。群G_{k} は，実験的に決定しなければならない?_{ij} の独立な数をも決定する。これを理解するために，テンソル成分?_{ij} の変換式を
?_{i'j'}=?(D)D_{i'i}D_{j'j}?_{ij}　　　　　　 　i', j', i, j=1,2,3　　　　　　　　　　　　　（２）
と書く，ここで，D_{i',i}=cos(X_{i}', X_{i}) ，?(D) は極性テンソルでは+1，右辺の総和は繰り返されるi,j に対し，１から３で行われる。項の和を取り，６つの未知数を求めるのに９方程式の冗長系（ 3つの方程式?_{i'j'}=?_{j'i'}は，この場合は成立しない；非対称テンソルの一般の場合には，成立しない）を得る．
　　　読者諸君にこの手順を実行するのを残しておく。上記の等式系の行列を導くのに他の手法を使う－３次元空間の座標変換の直交行列の（自分自身との）直積（p.241）．行列Dの自分自身との直積は，
D^{2}={ { D_{11},D_{12},D_{13 } },{D_{21},D_{22},D_{23 } },{D_{31},D_{32},D_{33 } } }?{ { D_{11},D_{12},D_{13 } },{D_{21},D_{22},D_{23 } },{D_{31},D_{32},D_{33 } } }={ { D_{11}(D_{ij}),D_{12}(D_{ij}),D_{13}(D_{ij})},{D_{21}(D_{ij}),D_{22}(D_{ij}),D_{23}(D_{ij})},{D_{31}(D_{ij}),D_{32}(D_{ij}),D_{33}(D_{ij}) } }
ここで，(D_{ij})は３×３行列で，例えば
D_{23}(D_{ij})={ { D_{23}(D_{11}),D_{23}(D_{12}),D_{23}(D_{13})},{D_{23}(D_{21}),D_{23}(D_{22}),D_{23}(D_{23})},{D_{23}(D_{31}),D_{23}(D_{32}),D_{23}(D_{33}) } } ，等々．
例えば，2∥X_{3} 軸まわりの180°回転の行列D（D_{11}=D_{22}=-1, D_{33}=1，残りの行列要素はゼロ）を知れば，テンソル?_{ij} の空間でのこの回転を記述するD^{2}を見出せる。すなわち，対称群G_{k}=2 に対して，変換式?_{i'j'}=?(D)D^{2}?_{ij} は以下の形となる：

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

変換則と物理量の対称性（一様連続体の近似） \\
反対称と色対称の極限群 \\
\ \\
　　　結晶のスカラー特性は，測定の方位によらないので，１つの数により定義される。このように，均一一様な結晶での温度・密度は，巨視的なサンプルに比べて，十分小さい体積要素で，単位胞よりは遥かに大きいような全ての"点" で同一である． \\
　　　誘電体結晶（焦電性\textrm{pyroelectric}，強誘電性\textrm{ferroelectric}と呼ばれる）は，その構造起因の自発分極（外部電場が存在しなくても分極している）を持つ．対称性\texttt{1}の結晶中の分極ベクトル\textrm{\textsl{P } }は，３つの独立なパラメータ：$P_{1}, P_{2}, P_{3}$で記述される（図219a）．対称性\textrm{\textsl{m } }の結晶では，生じるベクトル\textrm{\textsl{P } }は，２つの成分$P_{1}, P_{2}$で完全に決定される（図219b）．成分$P_{3}=0$となる訳は，平面\textrm{\textsl{m } }内にない斜めのベクトルには，鏡映同価なベクトルが必ずあるからである．軸対称類$2,3,4,6,mm2,3m,4mm$の結晶では，生じるベクトル\textrm{\textsl{P } }は，１つのパラメータ$P_{3}$で記述される（図219c）．$\overline{1}$ のような残りの類の結晶では，ピロ焦電性はない；すなわち$P=0$である． \\
　　　極性ベクトルの変換則$$r'=\left[ D|0 \right] r=Dr$$ を思いだそう（P.204参照）．この法則で，$$r$$ を$$P$$ で置き換え：$$P_{i}'=D_{ij}P_{j}$$ と行列形式で書く．例えば，軸性群$$2$$における軸$$2 /\!\!/ X_{3}$$の周りの180°回転を，行列$$\textrm{\textsl{D } }$$のあらわな形式を用い，対称操作の行列積を行うと，以下の結果を得る． \\
$$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
-1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
-P_{1} \\[0mm]
-P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $$ \\
軸対称のため，系の180°回転後， \\
$\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}' \\[0mm]
P_{2}' \\[0mm]
P_{3}'
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1} \\[0mm]
P_{2} \\[0mm]
P_{3}
\end{array} \right) $　，すなわち，$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
P_{1}'=-P_{1}=P_{1}=0 \\[0mm]
P_{2}'=-P_{2}=P_{2}=0 \\[0mm]
P_{3}'=P_{3}=const
\end{array} \right. $ \\
\ \\
さらにもう１つ，２階の極性テンソルで記述される特性例：誘電体に誘起される分極現象（図220）を考察する．結晶中の変位ベクトル\textrm{\textsl{D } }は一般には印加される電場\textrm{\textsl{E } }方向と一致しない（等方媒質では一致する）．これらの極性ベクトルの成分$D_{i}とE_{j} $との関係は， \\
$D_{i}=\varepsilon _{ij}E_{j}$　　または，$ \left\{ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
D_{1}=\varepsilon _{11}E_{1}+\varepsilon _{12}E_{2}+\varepsilon _{13}E_{3} \\[0mm]
D_{2}=\varepsilon _{21}E_{1}+\varepsilon _{22}E_{2}+\varepsilon _{23}E_{3} \\[0mm]
D_{3}=\varepsilon _{31}E_{1}+\varepsilon _{32}E_{2}+\varepsilon _{33}E_{3}
\end{array} \right. $ （１） \\
係数$\varepsilon _{ij}$は，誘電率テンソルの形で，べクトル\textrm{\textsl{D } }　と　\textrm{\textsl{E } }　を結び付ける．一般に，要素の対称性$\varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}$ があり，９つではなく６つの独立なパラメータをもつ．これから先は，テンソル$\varepsilon _{ij}$ の行列を，簡単化して，非ゼロの独立なパラメータのみの行か列の形式に書くことにする： \\
$$\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
\varepsilon _{\texttt{\textsl{11 } } } & \varepsilon _{12} & \varepsilon _{13} \\[0mm]
\varepsilon _{12} & \varepsilon _{22} & \varepsilon _{23} \\[0mm]
\varepsilon _{13} & \varepsilon _{23} & \varepsilon _{33}
\end{array} \right) ＝\left( \varepsilon _{１１},\varepsilon _{12},\varepsilon _{13},\varepsilon _{22},\varepsilon _{23},\varepsilon _{33} \right) 　　　 $$
$\varepsilon _{ij}$を係数とする２次の表面 \\
$\varepsilon _{11}x_{1}^{2}+\varepsilon _{22}x_{2}^{2}+\varepsilon _{33}x_{3}^{2}+2\varepsilon _{12}x_{1}x_{2}+2\varepsilon _{13}x_{1}x_{3}+2\varepsilon _{23}x_{2}x_{3}=1$ \\
は，対称テンソルに一意に関係づけられている；この表面は誘電率楕円体\textrm{ellipsoid}，あるいは一般に，観察される効果の特性を明確にする物理特性の屈折率楕円体\textrm{indicatrix}である．結晶の対称群$G_{k}$ は，この表面の形（３軸あるいは１軸性の楕円体，あるいは，球）と結晶物理軸 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$に対する楕円体の主軸$X_{1}', X_{2}', X_{3}'$ の方位を決定する．群$G_{k}$ は，実験的に決定しなければならない$\varepsilon _{ij}$ の独立な数をも決定する．これを理解するために，テンソル成分$\varepsilon _{ij}$ の変換式を \\
$\varepsilon _{i'j'}=\chi (D)D_{i'i}D_{j'j}\varepsilon _{ij}$　　　　　　 　$i', j', i, j=1,2,3$　　　　　　　　　　　　　（２） \\
と書く，ここで，$D_{i',i}=\textrm{cos}(X_{i}', X_{i})$ ，$\chi (D)$ は極性テンソルでは+1，右辺の総和は繰り返される$i,j$ に対し，１から３で行われる。項の和を取り，６つの未知数を求めるのに９方程式の冗長系（ 3つの方程式$\varepsilon _{i'j'}=\varepsilon _{j'i'}$は，この場合は成立しない；非対称テンソルの一般の場合には，成立しない）を得る． \\
　　　読者諸君にこの手順を実行するのを残しておく。上記の等式系の行列を導くのに他の手法を使う－３次元空間の座標変換の直交行列の（自分自身との）直積（p.241）．行列Dの自分自身との直積は， \\
$$D^{2}=\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11} & D_{12} & D_{13} \\[0mm]
D_{21} & D_{22} & D_{23} \\[0mm]
D_{31} & D_{32} & D_{33}
\end{array} \right) \times \left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11} & D_{12} & D_{13} \\[0mm]
D_{21} & D_{22} & D_{23} \\[0mm]
D_{31} & D_{32} & D_{33}
\end{array} \right) =\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{11}(D_{ij}) & D_{12}(D_{ij}) & D_{13}(D_{ij}) \\[0mm]
D_{21}(D_{ij}) & D_{22}(D_{ij}) & D_{23}(D_{ij}) \\[0mm]
D_{31}(D_{ij}) & D_{32}(D_{ij}) & D_{33}(D_{ij})
\end{array} \right) $$ \\
ここで，$(D_{ij})$は$3 \times 3$行列で，例えば \\
$D_{23}(D_{ij})=\left( \begin{array}{@{\,} ccc @{\, } }
D_{23}(D_{11}) & D_{23}(D_{12}) & D_{23}(D_{13}) \\[0mm]
D_{23}(D_{21}) & D_{23}(D_{22}) & D_{23}(D_{23}) \\[0mm]
D_{23}(D_{31}) & D_{23}(D_{32}) & D_{23}(D_{33})
\end{array} \right) $ ，等々． \\
例えば，$2 /\!\!/ X_{3}$軸まわりの180°回転の行列$D$（$D_{11}=D_{22}=-1, D_{33}=1$，残りの行列要素はゼロ）を知れば，テンソル$\varepsilon _{ij}$ の空間でのこの回転を記述する$D^{2}$を見出せる．すなわち，対称群$G_{k}=2$ に対して，変換式$\varepsilon _{i'j'}=\chi (D)D^{2}\varepsilon _{ij}$ は以下の形となる： \\
$\left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\varepsilon _{1'1'} \\[0mm]
\varepsilon _{1'2'} \\[0mm]
\varepsilon _{1'3'} \\[0mm]
\varepsilon _{2'1'} \\[0mm]
\varepsilon _{2'2'} \\[0mm]
\varepsilon _{2'3'} \\[0mm]
\varepsilon _{3'1'} \\[0mm]
\varepsilon _{3'2'} \\[0mm]
\varepsilon _{3'3'}
\end{array} \right] =\left[ \begin{array}{@{\,} ccccccccc @{\, } }
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\[0mm]
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{@{\,} c @{\, } }
\varepsilon _{11} \\[0mm]
\varepsilon _{12} \\[0mm]
\varepsilon _{13} \\[0mm]
\varepsilon _{21} \\[0mm]
\varepsilon _{22} \\[0mm]
\varepsilon _{23} \\[0mm]
\varepsilon _{31} \\[0mm]
\varepsilon _{32} \\[0mm]
\varepsilon _{33}
\end{array} \right] $ \\
\ \\
系の対称性を考慮して， \\
$\varepsilon _{1'1'}=\varepsilon _{11}$ \\
$\varepsilon _{1'2'}=\varepsilon _{12}$ \\
$\varepsilon _{1'3'}=-\varepsilon _{13}=\varepsilon _{13}=0$ \\
$\varepsilon _{2'1'}=\varepsilon _{21}$ \\
$\varepsilon _{2'2'}=\varepsilon _{22}$ \\
$$\varepsilon _{2'3'}=-\varepsilon _{23}=\varepsilon _{23}=0$$
$$\varepsilon _{3'1'}=-\varepsilon _{31}=\varepsilon _{31}=0$$
$\varepsilon _{3'2'}=-\varepsilon _{32}=\varepsilon _{32}=0$ \\
$$\varepsilon _{3'3'}=\varepsilon _{33}$$
\ \\
行列$D^{2}$の４，７，８行，４，７，８列を抜き取り，$9 \times 9$行列から，対称テンソルの変換則を完全に記述する$6 \times 6$行列に移行する．この行列を２つの行列の対称化積（あるいは対称化平方）と呼び$D^{(2)}$と標す． \\
　　　群$G=\left\{ g_{1},g_{2}, \ldots ,g_{j} \right\} $ の同形な行列群$\left\{ D_{1}(g_{1}),D_{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}(g_{j}) \right\} $ は，行列表現$G$　を作る．この表現は，$3 \times 3$行列$D_{j}$が点の配置の変換のみでなく３次元空間のベクトル成分を変換するので，ベクトル表現と呼ばれる． \\
　　　群G　の群$\left\{ D_{1}^{2}(g_{1}),D_{2}^{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}^{2}(g_{j}) \right\} $ による表現は，ベクトル表現の平方あるいはテンソル表現と呼ばれる。この術語を用いれば，誘電率テンソル$\varepsilon _{ij}$はベクトル表現 $\left\{ D_{1}(g_{1}),D_{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}(g_{j}) \right\} $の対称化された平方により変換される．テンソル量の定義自体は，成分の変換を支配する法則を特化すること，すなわち対応するテンソル表現の特化に基づいている． \\
　　　各32の結晶群に対する表現$\left\{ D_{1}^{2}(g_{1}),D_{2}^{2}(g_{2}), \ldots ,D_{j}^{2}(g_{j}) \right\} $ から，これらの群のどれに対しても，群$G_{k}=2$ に対して行ったのと全く同様に，テンソル$\varepsilon _{ij}$ の形を決定できる．テンソル$\varepsilon _{ij}$ の行列は，成分$\varepsilon _{ij}$ が対応する座標 $x_{i}x_{j}$の積と同様に変換されることに注目すれば，もっと速く決定できる．この方法を用い，方位$m \bot X_{3} $の群$G_{k}=m $に対し，テンソル$\varepsilon _{ij}$の行列の形を見出すことにする．この平面での鏡映により，座標$x_{1}, x_{2}$ は保存され，座標$x_{3}$は符号を変える：　$$x_{1} \to x_{1}, x_{2} \to x_{2}, x_{3} \to -x_{3} $$ \\
従って，座標の積は以下のように変化する： \\
$$x_{1}x_{1} \to x_{1}x_{1}, x_{1}x_{2} \to x_{1}x_{2}, x_{1}x_{3} \to -x_{1}x_{3}, x_{2}x_{1} \to x_{2}x_{1}, x_{2}x_{2} \to x_{2}x_{2} $$
$$x_{2}x_{3} \to -x_{2}x_{3}, x_{3}x_{1} \to -x_{3}x_{1}, x_{3}x_{2} \to -x_{3}x_{2}, x_{3}x_{3} \to x_{3}x_{3} $$
この変換は対称変換であるので，変換の前後で，成分$\varepsilon _{ij} \leftrightarrow x_{i}x_{j}$ は等しい．従って，群\textrm{\textsl{m } }の行列$\varepsilon _{ij}$ が，群２に対するものと同じ形となる：$（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33}）$ \\
　　　以下のリストに，結晶学的な群に対する誘電率テンソルの一般形を与える： \\
$$三斜晶系G_{k}=1, \overline{1} ：（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{13}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{23}, \varepsilon _{33}）$$
$$単斜晶系　2, m, 2/m　 ：（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{12}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33}）$$
$$斜方晶系　2, 222, mmm ：（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}, \varepsilon _{33}）$$
$$三方－，正方－，六方－：（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}=\varepsilon _{11}, \varepsilon _{33}）$$
$$等軸晶系　23, m\overline{3}, 432, \overline{4}3m, m\overline{3}m :（\varepsilon _{11}, \varepsilon _{22}=\varepsilon _{11}, \varepsilon _{33}=\varepsilon _{11}）$$
全く同様に，軸性ベクトルに対するテンソル不変量（対応する群の変換により変わらない行列）を見出すことが出来る．テンソル成分の変換則で，第１種の変換（回転，並進）に対しては，$\chi (D)=+1$ ，第２種の変換（鏡映，反転）に対しては$\chi (D)=-1$ とする所が異なる． \\
　　　テンソル本来の斜方晶対称－テンソル行列の一般形を保存する斜方晶[直交]変換の最も対称性の高い群により決定される－は，もとの結晶の対称性よりも高くなる可能性があることに注意しよう．例えば，立方晶系に対し，誘電率楕円体は対称性$ \infty \infty m$ の球に縮退する．３方晶系，正方晶系，６方結晶に対しては，１軸性誘電率楕円体は対称性$ \infty /mmm$である．残りの結晶に対しては，誘電率楕円体は，対称性 \textrm{\textsl{mmm } }の３軸性である．これは，楕円体（図220）をprincipal axes主軸$X_{1}', X_{2}', X_{3}'$に参照することにより理解出来る：群\textrm{\textsl{mmm } } のすべての変換は，テンソル行列$（\varepsilon '_{11}, \varepsilon '_{22}, \varepsilon '_{33}）$を保存する．さらに低い対称性の結晶系では，結晶物理主軸$X_{1}, X_{2}, X_{3}$ に対する楕円体の方位を標示するために，パラメータが（これらの３つ以上に）増える． \\
\ \\
\ \\
　　　均一なテンソル場の対称群の中で，極限キューリーCurie群（図74）に加えて，反対称と色対称群のlimiting orthogonal極限斜方晶［直交］群に出会う． \\
　　　7つの中性と7つの2-色のlimiting antisymmetry極限反対称群が，拡大の理論により得られる： \\
$$ \infty 1', \infty 221', \infty mm1', \infty /m1', \infty /mmm1', \infty \infty 1', \infty \infty m1',$$
$$ \infty /m', \infty 2'2', \infty m'm', \infty /m'mm, \infty /mm'm', \infty /m'm'm', \infty \infty m' $$
これらの群の具体化としての物質図形は，キュリーCurie群に対するそれらと同じ形を持つ．中性群では，図形の全ての点は中性，2-色群では，2色である（2色は，各点ごとに，混合されたり塗り分けられたりする）．反対称の磁気的解釈では，電気，磁気，Poyntingポインティングベクトルは，それぞれ，磁気対称の極限群$ \infty mm1', \infty /mm'm', \infty /m'mm$を持つ（図221）．反対称の極限群の導出では，読者はShubunikov（1958，1959），Sirotin（1962），Koptsik（1966）による扱いを参照するとよい． \\
　　　この系列に，無限にcolored limiting groups色極限群が存在し： \\
$$ \infty 1^{(p)}, \infty 221^{(p)}, \infty mm1^{(p)}, \infty /m1^{(p)}, \infty /mmm1^{(p)},$$
$$ \infty \infty 1^{(\texttt{\textsl{p } })}, \infty \infty \texttt{\textsl{m } }1^{(\texttt{\textsl{p } })};$$
$$ \infty ^{( \infty )}, \infty ^{( \infty )}\texttt{\textsl{m } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)}, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{m } }, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{mm } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)},$$
$$ \infty ^{( \infty )}2^{(2)}2^{(2)}, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{m } }^{(2)}, \infty ^{( \infty )}/\texttt{\textsl{m } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)}\texttt{\textsl{m } }^{(2)} $$
$$ \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}, \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}\texttt{\textsl{m } }^{(2)} $$
色群の具体化となる典型的な図形は，Curieキューリー図形の周りに色調が連続的に変化（虹のように）する色紙を接着すると得られる． \\
例えば，単色光線がコーンの頂点からその底面へ通過すると，色は，コーンの回転にともない，自然のスペクトル順に変化する．コーンが回転するなら， \\
群の系列$ \infty ^{( \infty )}(1), \infty ^{( \infty )}(2), \ldots , \infty ^{( \infty )}(n)$，静止しているコーンには，系列$ \infty ^{( \infty )}m^{(2)}m^{(2)}(1), \infty ^{( \infty )}m^{(2)}m^{(2)}(2), \ldots , \infty ^{( \infty )}(n)$ を得る \\
［ここで，\texttt{(1)}\textrm{\textsl{, } }\texttt{(2)}\textrm{\textsl{, } }\texttt{(}\textrm{\textsl{n } }\texttt{)}は，古典的軸性部分群である；色コーンの群が，部分群\textrm{\textsl{n } }を含むなら，１回転でカラーサイクルは\textrm{\textsl{n } }回繰り返すことを意味する]. \\
底をシリンダーとし，その周りに色サイクルを一回貼りつけ，群$ \infty ^{( \infty )}/mm^{(2)}(1)$ （静止したシリンダー），$ \infty ^{( \infty )}/m(1)$ （回転シリンダー）を得る． \\
色が連続的に，シリンダーを１周（円周に沿い）するのみでなく，すべての生成元に沿い変化するなら，対称性$ \infty ^{( \infty )}/m^{(2)}m^{(2)}m^{(2)}(1)$（静止時），$ \infty ^{( \infty )}/m^{(2)}(1)$（回転シリンダー），$ \infty ^{( \infty )}2^{(2)}2^{(2)}(1)$（ねじれシリンダー）の２回の色シリンダーを得る． \\
これらの全てで，部分群$1$を$n$で置き換えると，オリジナルのものから群の無限系列が導びける．色シリンダーの群は，古典的部分群$mmm,n22$, あるいは，何らかの性質を保存する部分群の系列に形式化できる． \\
色極限群の最後の２つは，全点が$ \infty $-色で，かつ，中性でない球で具体化される：各点の色は，セクターに沿って分布するか，あるいは，混合されずに層をなして互いに重畳され，同様に群$ \infty ^{( \infty )}$ と$ \infty ^{( \infty )}m^{(2)}m^{(2)}$ ではコーンのチップに分布する．群$ \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}$ では，球の直径は群 $ \infty ^{( \infty )}2^{(2)}2^{(2)}$でのように捩れている．一方，群$ \infty ^{( \infty )} \infty ^{( \infty )}m^{(2)}$では，捩れがない．極限群の別の解釈では，初期に見たすべての図形でのように，１つの固定色は，一般点のすべてに帰属せしめられる。捩れたシリンダーの対称性は，もっと完全には２回色反対称群により記述される． \\
$\displaystyle \frac{ \infty ^{( \infty ) } }{m'^{ \ast } }\displaystyle \frac{2^{(2) } }{m'^{ \ast } }\displaystyle \frac{2^{(2) } }{m'^{ \ast } }$ \\
ここで＊星印はシリンダー低部の周囲の順序で，色を変え，′ダッシュは捩れの方向を変える． \\
　　　さらに，中性群では，色同一部分群$1^{( \infty )}$は冪によって異なることに注意する．具体化に加え，言及したように，古典的なCurieキューリ群，反対称の極限群，Waerden-Burckhardt群，Wittke-Garrido群，およびこれらの許容される積（p.248，256参照）により記述される色図形がある．すべての有限色群（結晶学的および非結晶学的の位数の）は，これらの極限群の部分群であり，非常に早く本書で与えてある。完全な構造対象の物理で，極限色群は通常の極限斜方晶群よりも役割が低いわけではない． \\