ロシアの数学月間

魔法陣の応用

KVANTIKの2019年12月号に，下記の数学ツアー問題の解説がありました．
出題されている問題：
9個の金のインゴットがあり，それぞれに
100g，200g，300g，400g，500g，600g，700g，800g，900g　の刻印があります．しかし，1つのインゴットの重量だけが宣言された刻印よりも小さいことがわかっています．分銅なしの2皿天びんを使ってこのインゴットを見つける方法は？

皆さん挑戦してください．かなり難しい問題です．
さて，この問題は3x3の魔法陣と関係があることが指摘されます．

１～９の数字を3x3のマスに配置して，縦横斜めの3つの数の和がいつも15になるように配置したものが魔法陣です．1+2+3+･････+9=45ですが，中心の数Xは，4重に数えられます．従って，45+3X＝15x4　を解いて，X=5が決まります．3x3魔法陣の中心の数は5でなければなりません．
周囲の数を埋めて行き，3x3魔法陣が作れますが，3x3の場合は魔法陣の解はこれ一つ（対称的な入れ替えは同じとする）であることが知られています．

金のインゴットの問題に戻ると，上図の魔法陣になります．縦横斜めの和はいつも1,500になります．魔法陣の縦横斜めの3個のインゴットで1組作れば8組できます．8組から2組選び天秤に載せ比較し，軽い方の組みにしるしをつけます．例えば，以下の赤で囲んだ組が軽ければ，交点にある900gが軽いインゴットであることがわかります．
4回測れば必ず見つけられますね．

■補足：
和が一定になるのではなく，積が一定になる魔法陣はどうやって作れるでしょうか？以下の例をご覧ください．

ガンマ線放射物137 Сs -環境災害の明示的インジケータ

Александр Портнов　アレクサンドル・ポートノフ，«Природа» №12, 2019

著者について
アレクサンドル・ミハイロビッチ・ポートノフ -地質学および鉱物学博士，Серго Орджоникидзе国立地質探査大学の鉱物学および地球化学学部教授．研究分野-鉱物学，地球化学，鉱物化学鉱床探査方法．«Природы»の常任著者．

1986年4月の終わりにチェルノブイリ原子力発電所（(ЧАЭС：ChNPP）で爆発が起きた．原子炉からの放射性物質の激しい放出は5月6日まで続いた．その結果，5000万Ci＊のさまざまな放射性核種と5000万Ciの放射性ガスが環境に出ました．専門家によると，それらには最大250万Ci の137 Csと最大で1400万Ci の 131 Iが含まれていました．ソビエト連邦の領土では，1700万人が生活する11の地域が影響を受け，そのうち250万人が5歳未満の子供でした．放射能は，フィンランド，スウェーデン，および多くの中央ヨーロッパ諸国を含む20以上の州にも影響を及ぼしました（図1）[1，2]．

図1.西ヨーロッパの放射性同位元素137Cs（チェルノブイリ放出）の汚染の地図[ 3 ]

最初の数時間の災害の規模は不明でしたが，幸いにも，空中ガンマ線分光（AGS）調査用に設計されたソビエト連邦水文気象サービスのAN-26航空機が，キエフ飛行場に駐留していました．分光計が装備されており，地表からのさまざまな放射性同位元素のガンマ線のレベルを100〜150 mの高さから定量化することが可能です．航空機はすぐに作業を開始し，南北方向に12を超える平行ルートを飛行しました．1日後，キエフに至る放射能汚染の広大な地域のマップができました．放射能レベルは非常に高かった．

汚染の最初の概略図はすぐにモスクワとキエフに送られました．それらは直接ミハイル・ゴルバチョフに個人的に示されたと言います．それにもかかわらず，状況の危険性は分類され，ラジオ局はチェルノブイリ原子力発電所での事故をはっきりと伝えませんでした．プリピャチの住民の避難は，最初の数日間は行われず，放射能レベルはスケール外になり，メーデー祭日のキエフの子供たちは揮発性ガンマ・ベータ線放射物-放射性同位元素131 Iの空気を吸いました．当局はパニックに陥り，専門家を探し，集団保護の代わりに-人口を「ヨード化」し，地元の製品の消費を禁止しました．（訳注：ヨウ素剤配布は間に合わなかったのではなかったか）

放射能汚染の実際のサイズの詳細な調査には，ソ連の地質省のモスクワ地球物理探査隊が関与し，当時，感度の高いセンサーを備えたカナダ企業「マクファール」の最先端のガンマ線分光計-NaI（Tl）結晶がありました．数年間，私はこの作業，データの処理，および放射性核種による汚染のマップの編集に関与しました．最終的な地図の作成は，A.I．ペレルマン（地質学および鉱石鉱物学研究所，モスクワ）とアカデミアンYu.A.イスラエルによって監督されました [ 3 ]．

我々の仕事の開始時は，ガンマ線の活性は，144 Се、131 Iなどや自然のガンマ線放射体-K、Th、Uなどの半減期の短い同位体の存在のために非常に高いままだった．137Csの半減期は 30年．

図2.ウクライナ，ベラルーシ，ロシアの領土における137Cs汚染の小規模（1:10 000 000）マップ．調査地域は400万km^2以上．1：500,000のスケールで実施されたAGS調査に基づいて，ウクライナのセシウム放射性同位元素による汚染サイトの詳細な（1：100,000）マッピング・エリアが特定された．

0.66 MeVのガンマ線エネルギーを持つこの放射性同位元素137Csは，100〜150 mの高さからリモートで分離できる．セシウムは分散しており「非ガス」の放射性同位元素の中で最も移動性が高いことがわかりました．137Csの空気移動は，マイクロエアロゾル形態の高い揮発性によるものです（図2）．チェルノブイリからの放射能放出は，最初の数日でフィンランドとスウェーデンに到達しました．たとえば後者では，チェルノブイリ原子力発電所の燃焼をすでに衛星で観察していたアメリカ人から放射線源について知りました．

セシウムは航空機のペーパーフィルターで簡単に捕集され，濾液の組成をマイクロプローブで分析した．粒子状のセシウムの存在と，1〜10 µmの最も細かいダストが風によって数千キロもアラスカまで運ばれました．

このマッピングにより、放射性同位元素である90 Sr、239、240 Pu、241 Am、および 244 Cm が通常、セシウムの最大濃度の異常に存在することが確認できました。このセットでは、（セシウムの後の）最も移動性が高いのは90 Srです。プルトニウム、アメリシウム、キュリウムなどの「熱い粒子」は、主に西方向にチェルノブイリ原子力発電所周辺の30 kmゾーンを超え、原子炉の燃焼期間中の風のドリフトの方向を反映していました（図3）。

図：3.チェルノブイリ周辺のウクライナ領土の汚染地図 [ 3 ]。土壌中の137 Cs の濃度を反映しています。影響を受けたエリアは、燃焼中の原子炉からの排出中の風の方向により、西にシフトします。セシウム（ガンマ放射体）は正と相関する 90のSr（β放射体）と 239 -プルトニウム（アルファエミッタ）、並びにその崩壊生成物と244センチ、 241 AM（アルファおよびガンマエミッタ）。1：100,000のスケールでのAGS調査
初年度のすべての放射性同位元素は、5〜60 cmの深さの土壌層に蓄積され、ここでセシウムも最大の移動度を示し、分析で示されているように、セクションの深さ1.5〜2 mに移動しました。**。航空写真と2〜3年の間隔で繰り返される飛行での異常の輪郭の研究により、地面に落下した放射性同位元素の不活性が判明しました。同時に、セシウムは腐植土と粘土鉱物に吸着されました [ 4 ]。汚染された地域の輪郭は、河岸と小川の浸食、および渓谷と川の斜面での地すべりの形成によってのみ変化しました。

放射性核種のCsとSrは、森林植生、草、果実、特に菌類に積極的に蓄積し、生態系の食物連鎖に含まれています。たとえば、モスクワでは、ゴメル（ベラルーシ）の近くの沼地でその夏に収穫されたクランベリーは、1時間あたり400マイクロR（マイクロレントゲン）と、チェルノブイリ原子力発電所の近くに住んでいるナマズの骨-1時間あたり最大4万マイクロRを与えました！森林におけるセシウムとストロンチウムの強い蓄積は予想外でした。放射線で乾いた木が呼ばれたとき、彼らが「赤い森」を燃やそうとしたときだけ、彼らはこれについて知りました。彼らは、原子炉の燃焼中に吹く風に対応して、西方向に細長いゾーンを形成しました。燃えている「赤い森」からの煙は、セシウムとストロンチウムの放射性同位元素の新しいハローを作り出しました。チェルノブイリ周辺の森は地下に埋め込む必要があることがわかりました。燃やすことはできません。

1991年から1993年の間に。大気から、1：200,000のスケールでのAGS調査を使用したモスクワの空中地球物理探査は、約400万km 2のセシウム放射性同位元素の分布のマップを作成しました（図1を参照）。137が感染の主な指標になったCs。放射性同位元素の分布と沈着は予測不可能で、気流の地球規模の移動に関連していることが判明しました。放射線帯は、ドイツ南部（バイエルン州）、ポーランド、トルコ、フランス、スウェーデン、および他の多くの国で見つかりました。空気中の放射性元素の高含有量は、地元の人々を驚かせ、農家に重大な害をもたらしました。特にトルコは、茶畑にセシウムを感染させる法案をソ連に提示した。ゴルバチョフはスキャンダルを避けるためにこのお茶を買いました。1980年代後半、低品質のトルコ茶がソ連で広く販売されました。バッグからの放射線が1時間あたり400 microRに達することを知っている人はほとんどいません。これは通常のバックグラウンドの20倍です（茶はセシウムの吸着剤として優れていることがわかりました）。

小規模な調査では、ロシア連邦の領土が、東のペンザとサランスクに到達するセシウム汚染の大きなスポットで覆われていることが示されました。カルガ地域とトゥーラ地域の南部を捉えた、クリンツィーからムツェンスクまでの線に沿って300 km延びる緯度のCs異常が示されました。それは人工的に発生しました-放射性雲が航空機から受粉されたとき、チェルノブイリから北東、モスクワに向かって行きました。

2つの重度に汚染された主な地域が地図上に迫っています：ウクライナ固有-チェルノブイリを中心としたキエフの北西、そしてもう1つ-ゴメルの北東にあり、ベラルーシの領土とロシアの一部に（ブリャンスク地方のノボジコフスキー地区）。小規模調査で特定されたこれらの領域は、Makfar機器を使用し、MI-8ヘリコプターを使用した大規模（1：250,000）AGS調査の詳細の基礎として機能しました。マップは、汚染された地域の経済循環からの撤退による損失の大きさを推定することを可能にしました。たとえば、セシウム137の濃度が40 Ci / km 2を超える地域は、ブリャンスク地域にありました。350 km 2、濃度15〜40 Ci / km 2 -2200 km 2以上。そのような土地は放牧には適しておらず、ジャガイモまたはそれらの穀物はアルコールの生産にのみ使用できます。カルーガ、トゥーラ、オリョル、リペツク地域は大きな被害を受けました。汚染された土地の総面積は1,500 km 2以上でした。

地域と詳細の両方のマップは、1991年から1995年までのセシウム汚染レベルを反映していることを覚えておく必要があります。それから四半世紀以上経ち、セシウムとストロンチウムの放射線レベルはそれ以来ほぼ半分になりました。しかし、だまされてはいけません。Т½= 25千年のプルトニウムの場合、アメリシウムとキュリウムの出現によって放射線状況は変化せず、悪化さえしています（図4）。人間に対するプルトニウムの致死量はごくわずかです-わずか1 mg [ 5 ]。プルトニウムの崩壊はまた、危険な放射性同位元素-キュリウムおよびアメリシウム（Т½= 18年で244 Cmのアルファエミッター、Am = 458年で241 Amのアルファおよびガンマエミッター）を引き起こします。時間が経つと、これらの要素が蓄積し、10〜15年後にはすべての生物に対する主要な脅威となります。これは、特に、死んだプリピャチの街を進んで訪れる多くの観光客が覚えておくべきです。彼らはチェルノブイリゾーンでは放射線が非常に高いため、ここで動物の死体は腐敗しないことを知っておく必要があります。微生物はなく、放射線によって殺されています。死体は乾いてミイラ化します。ロシア中に散らばって無秩序に散らばった、致命的に危険な放射線汚染のゾーンが発見され、輪郭が描かれ、遠隔で調査されました。このような作業は、AGS調査方法でのみ実行できます。 [ 6 ]。

図：4. 239、240 Ru（上）および関連するアメリシウム241 Am の分布マップ[ 3 ]、セシウム137ハローとの高い相関を示す（図2を参照）
南ウラルのチェリャビンスク地域でも同様の調査を実施しました（図5）。ここが川です。オベ川の支流であるテキー川は、長い間原爆が生産されたマヤックコンバインです。秘密保持体制は、長年にわたるすべての環境法違反につながっています。その結果、チェリャビンスク、キシュティム、カスリなどの大都市に大きな危険が生じました [ 6 ]。秘密が取り除かれた後、私たちの作業により、セシウム137で汚染されたエリアの輪郭を描くことができました。これは7,000 km 2を超えました。この回路には、ストロンチウム、ウラン、プルトニウム、アメリシウム、キュリウムの多くの放射性同位元素が含まれています。専門家によると、ここに散乱した放射性同位元素の量はチェルノブイリの総放射能の4-5倍です。

図：5.ゾーン「マヤック」、南ウラルのチェリャビンスク地域。川への放射性同位元素の一定の放出。テカ（オブ川の支流）と1957年の軍事生産の液体放射性廃棄物を含む過熱したタンクの爆発により、チェリャビンスク地域が変わりました。ロシアで最も生態学的に危険な地域の一つに。1万分の1のスケールでのAGS調査。セシウム137のコンターには、セシウム、ストロンチウム、ウラン、プルトニウム、アメリシウム、キュリウムの放射性同位元素が含まれています

***

結論として、ガンマ線分光法によって最も簡単にリモートで識別される放射性同位体セシウムは、より危険なベータおよびアルファエミッターによる複雑な感染の可能性を常に示すことを強調します。それらの検出は、計り知れないほど困難であり、土壌サンプリングによる特別な地上作業が必要です。 [ 7、8 ]。

セシウム137のガンマおよびベータエミッターは、体内に血液がんを引き起こします。ベータ線（通常はストロンチウム90とT½= 27.7年）が骨に蓄積し、肉腫を引き起こします。アルファエミッターは、粒子の経路が短い（空気中約2 cm）ため、検出が非常に困難であり、そのため、最も危険で陰湿です。これらには、非常に長寿命のプルトニウムとそれが生成するキュリウムとアメリシウムが含まれます。生態系に入る危険な長寿命のアルファエミッターには、ルテニウム-106および-103とポロニウム-210（T 1/2 = 120日）も含まれます。後者はテロリストによって3年後に消えるほとんど見えない毒として使用されます。アルファ線は人間の粘膜にがんを引き起こし、目、食道、胃、肺に影響を与えます。

ガンマ線の検出に一般的に使用されるシンプルで安価なガイガーカウンターは、ベータ線とアルファ線の影響を受けません。したがって、リモートで検出可能な137 Cs ガンマ異常は、重い放射性同位元素によるより危険な汚染の存在の重要な指標になります。

最近では、軽い自動ドローンが重い航空機に取って代わりつつあります。彼らは現代の携帯型地球物理学装置を持ち運び、広大な地域でより迅速に、そして最も重要なことには、はるかに安価に遠隔エクスプレス調査と環境作業を行うことができます。 [ 9 ]。さまざまなタイプの感染を検索する方法についての知識は、避けられない人為的災害の結果のリスクを減らすことができます。

AGS調査データが日本で発表されなかったことは驚くべきことです-福島原子力発電所の災害の分野で。また、ここで貯水槽に巨大な量の放射性同位元素で汚染された水の蓄積が奇妙に見えるのは奇妙です-吸着剤（石炭、さまざまな粘土など）の助けを借りて浄化する試みはありません。しかし、ロシア、ウクライナ、ベラルーシ（チェルノブイリ、ホメリ、ブリャンスク地域、およびマヤクゾーン）では、137の Cs 汚染マップは、ミナトムの労働者への最近の記念碑からの危険な「あいさつ」のままです。

文献
１。ペレルマンA.I.地球化学。M.、1989。
２。Losev KS環境問題とXXI世紀のロシアの持続可能な開発の展望。M.、2001。
３。ロシア、ベラルーシ、ウクライナのヨーロッパ地域の放射能汚染の地図。エド。Yu.A.イスラエル。M.、1998。
４。Linge I.I.、Ivanov A. Yu。、Kazakov KS核施設での粘土系材料の使用を拡大するための体系的な対策について//放射性廃棄物。2018; 4（5）：33-40。
５。ロシアのプルトニウム。生態学、経済学、政治。独立した分析。M.、1994。
６。Portnov A.M.一般地球化学。ザールブリュッケン、2015年。
７。Meleshin A.ゆう。炭酸塩の溶解とСОのリリース 2の高温//放射性廃棄物のベントナイトインチ 2019; 2（7）：65-75。
８。Varlakov A.P.、Barinov A.S.放射性物質を含む土壌およびシルト底質の調整//放射性廃棄物。2019; 3（8）：61–67。
９。ミネラル原料。系統的なシリーズ。固体鉱物の堆積を予測、調査、評価するための革新的なテクノロジー（情報および分析レビュー）。M.、2016; 17:55。

* Ci、キュリー-放射性核種放射能の測定のオフシステム単位（1 Ci = 3.7・10 10 Bq）。毎秒3.7・10 10の放射性崩壊が発生する場合、その物質の放射能は1 Ciに相当します。

**参照：Paramonova T. A.、Komissarova O. L.、Turikin P. A. et al。チェルノゼム地域の農業景観におけるチェルノブイリの痕跡：30年後の独立した評価//プリロダ。2019. No. 7. P. 40–51。

サイコロゲームと膜の振動

この論文を紹介する前に，次のyoutube動画をご覧ください．クラドニ図形は，楽器の音響学にも関係しそうですね．

フョードル・ナザロフ，ミハイル・ソディン，アレクサンドル・ログノフ
「トリニティオプション-サイエンス」第16号(310），2020年8月11日の抄録

ある工場で，複雑な装置が停止してしまい，1人の専門家では何もできませんでした．若い男がやって来て，あらゆる側面から複雑な装置を調べていましたが，普通のハンマーを取りだし装置を一撃すると，装置が作動し始めました．ハンマーで打つことが高い報酬になったのではなく，ハンマーでどこを打つべきかを正確に見極めたところが報酬に値したのです．

似たようなことが最近数学で起こりました．2020年のヨーロッパ数学会の賞であり，数学への卓越した貢献が認められた35歳未満の10人の研究者に4年ごとに授与されます．

ここで対応するのは，
「複雑な装置」⇔「楕円微分方程式の解の節点幾何」，
「ハンマー」⇔中学生が知っている「組み合わせ幾何学的考察」
であり，若者の名前はAlexander Logunovでした．

節点形状の起源は，振動板に注がれた細かい砂が節線に集められ，境界条件の板形状と振動周波数に応じて奇妙なパターンを形成するフックとクラドニの実験に戻ります．これらの線は，静止しているプレート上の点で構成されます．読者は，グーグルで「クラドニ図形」と入力することにより，これらの実験の多数のイラストを見つけるでしょう．

振動から生じる節線についてのさまざまな疑問は，200年以上にわたって科学者を魅了してきました．アレクサンドル・ログノフが受け取った賞は，この分野での最初の賞ではありませんでした．1809年，クラドニがパリを訪問した後，フランス科学アカデミーはコンテストを発表しました．その目的は，「弾性表面の数学的理論を構築し，それが実験データとどの程度一致するかを示すこと」でした．賞はソフィー・ジャーメインが1816年に受賞しました．その数学的モデルは，少し後のグスタ・フキルヒホフによって完成しました．

剛体プレートではなく，柔軟な弾性膜の振動理論は，Logunovの研究が直接関連することに注目ください（違いは，膜が伸張のみに抵抗し，プレートは曲げと圧縮に抵抗するためより複雑な数学モデルになる点です）．この場合，膜は任意の形状にでき，固定されたエッジを持つ平面，球状，ドーナツの形など，多次元にすることもできます．

ランダムな球面調和符号

小振動の理論の基本原則の1つによれば，平衡位置からの膜の変位を表す関数は，最も単純な固有振動の重ね合わせとして表されます．各固有振動は特定の周波数ωで発生し，積$$cos(2πωt)v_ω(x)$$によって記述されます．ここで，tは時間，$$v_ω(x)$$はいわゆる固有関数で，膜の点xのみに依存します．

微分方程式の観点から，固有関数$$v_ω$$は方程式$$Δv_ω+4π^2ω^2v_ω= 0$$の解であり，節線（3次元以上）は，条件$$v_ω（x）= 0$$を満たす単純な点xです．ここでの記号Δは，ユビキタス・ラプラス演算子を示します．明示的な式は，選択した座標系と膜の弾性特性によって異なります．

ランダムな球面調和値の分布

通常のデカルト座標で表される平らで均質な膜の場合，膜の形状は$$ \mit\Delta =\displaystyle \frac{ \partial ^{2 } }{ \partial x^{2 } }+\displaystyle \frac{ \partial ^{2 } }{ \partial y^{2 } } $$です．上記のラプラス演算子の固有関数は，幾何学および確率論から量子力学に至るまで，数学および物理学の多くの分野に現れます．したがって，固有関数の振る舞いとそれらの節線は綿密な研究の対象であるのは当然なのですが，今日まで多くの課題が未解決のまま残されています．

どうやら，節点集合の問題の最も有名なものは，40年以上前に表現されたそれらのサイズに関するヤウ　シンツン予想でした．彼女は，この次元（２次元の長さ，3次元の領域など）は常に周波数ωの線形関数として成長すると主張しています．振動膜に追加の対称性がある場合，固有関数が明示的に見つかることがあります．対称性がない場合，固有関数の明示的な式を記述して節点集合のサイズを推定することは不可能です．それらは通常，膜を小さな正方形に分割し，それぞれのサイズを推定して，結果を追加します．

ヘルムホルツ方程式の解の境界点

そのような推定のための便利なツールは，倍加指数$$N(Q)=ln\displaystyle \frac{\textrm{max}_{2Q}|v_{\omega }|}{\textrm{max}_{Q}|v_{\omega }|}$$ であり，立方体Qから立方体2Qに，中心が同じで辺が2倍になると，固有関数の絶対値の最大値がどれだけ速く増加するかの指標です．有用な事実は，倍加指数が有界のままであれば，立方体Qに該当する節点集合のサイズも有界であることです．

ヤウ仮説における最初の重要な進歩は，約30年前にハロルド・ドネリーとチャールズ・フェファーマンによって行われました．彼らは，任意の正方形について固有関数倍加指数が振動周波数によって上から推定されることを証明しました．この一連の問題での次の進歩は，ニコライ・ナジラシビリによります．彼は，ヤウ・シンツンによって提起された質問は，より単純なクラスの調和関数の関連する質問に還元できることに気づきました．これは，方程式Δv= 0の解（膜の定常状態を表します）です．ナジラシビリの質問の中には，たとえば次のようなものがあります．3次元空間の一定でない調和関数が無限領域の集合で消えるのは本当か？（平面上の同様の命題は単純な演習です）　25年間，中心となる数学的対象の1つに関するそのような無邪気な質問が未解決のままでした．

ドンネリ，ヘッフェルマン，ナジラシビリの研究の後，基本的な問題は，正方形（または高次元の立方体）が小さな断片に分割されたときに調和関数の倍加指数がどうなるかであることが明らかになりました．多くの数学者の努力にもかかわらず，2016年にアレクサンドル・ログノフとエフゲニア・マリンニコワの研究が発表されるまで，この問題は進展していませんでした．

これらは，次のエレガントな組み合わせ補題に基づいています（私たちは，すでに主要な問題を含んでいるフラットケースのみに制限しています）．調和関数の単位平方に大きな倍加指数Nがあるとします．次に，この正方形を同じサイズの十分に小さい正方形のA^2にカットすると，最大でA / 2で，倍加指数がN / 2を超える可能性があります．この補題は，上記のナジラシビリの仮説とヤウの仮説の一部の証明につながり，少し後に，エッジでクランプされた均一な平膜の自然振動の節線の長さが，周波数の線形関数として増加することを証明しました．

A.スターンの論文からの節曲線

結論として，アレクサンドル・ログノフ自身について一言．アレクサンダーはペルミとサンクトペテルブルクで育ちました．多くのピーターズバーグの数学者と同様に，彼は市内の数学学校の1つを卒業しました（239番目）． 2015年，彼はビクトル・ペエトロビッチ・ハビンの指導で博士論文をとりました．テルアビブで2年間過ごした後，アレクサンダーはプリンストンに移り，今日まで働いています．彼は今でも定期的にサンクトペテルブルクとテルアビブの両方を訪れ，他の同様に困難でエキサイティングな課題の解決に成功しています．

「節点形状を実行しています」
プリンストン大学（米国）の助教授であるアレクサンダー・ログノフは，新聞からのいくつかの質問に答えました．

アレクサンドル・ログノフ
-どのようにして数学に入学したのですか？選択について疑問はありましたか？

-私は12歳の男子生徒として、サンクトペテルブルクのPhysics and Mathematics Lyceum No. 239の素晴らしい数学サークルに偶然出会い、私の教育に大きな役割を果たしました。私は、この非常に成功したサークルとオリンピックのシステムとまだ連絡を取り合っています。初年度は、数学と経済学の2つの分野で同時に勉強する許可を得ました。授業が始まってから2週間後、自分が何で何がそうでないかがはっきりとわかりました。

-あなたの数学の興味のある分野をどのように説明しますか？

-分析（不等式の科学）、幾何学、数理物理学。

-人気のある科学形式（私たちは物理学者だけでなく言語学者にも読まれています）で、ヨーロッパ数学会の賞を受賞した結果を説明していただけますか？

-賞のプレゼンテーションでは、それはどこにも言われていません。過去5年間、節点形状を作成してきました。

「節点セット」という用語は、物理学者によって、たとえばクラドニの実験ではっきりと見える驚くべき線を表すために造られました。この実験では、金属板の上に弓が描かれ、それが共振します。

レオナルドダヴィンチ、ガリレオガリレイ、ロバートフックなどの物理学者は、互いに独立して節点集合に注意を払い、エルンストクラドニはそれらを体系的に研究して説明しました。ナポレオンはクラドニの共鳴実験に非常に感銘を受け、フランス科学アカデミーがこの実験の数学的説明の中で最高の賞を受賞するよう提案した。賞が授与された後、フランスの物理学者と数学者は、何の方程式が節点集合を説明するかについて何年もの間議論しました。

1816年、ソフィージェルマン（マリーソフィージェルマン、1776年から1831年）が賞を受賞しました。彼女のおかげで、節点集合は楕円方程式の解の零点であり、数学者はこれを研究して抽象的なレベルで説明しようとしていることを知っています。節点セットに関する数学的質問を簡単に思い付くことができます。物理学者が作成した写真を見て、目に見えるものを証明または反証する必要があるだけです。最も有名な質問は、Yau仮説（Yau Shintunの後）です。これは、節線の長さが周波数にどのように関連しているかを示しています。

D. BelyaevとA. Logunovによる絵。編集者は、親切に提供されたイラストを提供してくれたDmitry Belyaevに感謝します。

ランプシェードの組み立て方，30面体の冒険

改装後，すべてのランプを交換することにし，IQライトと呼ばれる新しいランプシェードを購入しました．重さはたったの100グラムです．30枚の薄いフレキシブル・プレートで組み立てられているので，とても軽い．各プレートは四角形の形状で，4つのフックがついています．このデザインは，デンマークのデザイナーHolgerStrömによって1973年に発明されました．名称のIQはInterlocking Quadrilateralsー連動する四辺形ーの略です．

図1を見ると，プレートが5個集まる場所と，3個集まる場所があることがわかります．
デザイン自体は一見複雑に見えますが，幸いなことに詳細な説明書が添付されており，組み立ての過程はわかります．
ランプシェードは同じ菱形面でできた多面体です（図2）．
その正確な学名はギリシャ語の数値接頭辞の表を見てください．例えば，30面体はロシア語ではТРИАКОНТАЭДРАとなります．

ヨハネス・ケプラー（1571-1630）

宇宙の調和（図3）でてくる，図の右側は30面体です．
30個の菱形面のうち10個しか表示されていませんが，菱形三十面体の名称が，テキストの2行目に認識されます．

図の左側は12面体です．

菱形の三十面体の発見におけるケプラーの優先順位を認めているようですが，菱形12面体と菱形30面体の菱形面の形についいて述べていないということです．

ヴェンツェル・ジャムニッツァー(1508 – 1585)

ドイツの有名な宝石商．1568年に、彼はPerspective Corporum Regulariumという本を出版しました。

数学の問題kvantikより

18/19学年度のクバンチク数学コンテストなどの問題より
３つ選びました．挑戦してみましょう．

■雑誌エレメント2020.9より改題
平方数A_n（n=1,2,3,4,5,6････）とは；1,4,9,16,25,36，･････
（一辺nの正方形の中に直径１の円を並べたとき入る円の数）
3角数B_m（m=1,2,3,4,5,6,･･･）とは；1,3,6,10,15,21,･････
（一辺nの正3角形の中に直径１の円を並べたとき入る円の数）
平方数でもあり3角数でもある数を求めなさい．無限にありますがいくつ求められますか．
ヒント）A_n=n^2 ，B_m=m(m+1)/2　です．

■７ラウンド問題34より
図に示すように，2つの黄色の等辺三角形が正方形に配置されています．マークされた3つのポイントが等辺の三角形を形成していることを証明しなさい．

■４ラウンド問題20（エゴールバカエフ）より
円は三角形の辺と6点で交差します（図を参照）．
a）a = bおよびc = dの場合，e = fであることを証明しなさい．
b）b = cおよびd = eの場合，f = aであることを証明しなさい．

ヴァンラムン円

約4000年前のバビロニア時代に三角形の幾何学の研究が始まりました．その後のエジプトでは，ナイルの氾濫後の測量に必要な幾何学が発展しました．3,4,5の長さのエジプト紐で直角を作り，ピタゴラスの定理も知られました．ギリシャでユークリッドが原論を完成したのがB.C.300年頃です．普通の学校の幾何学の教科書にあるほとんどすべての事実が，17世紀の半ばまでにすでに知られていました．ユークリッド幾何学の分野で，単純な定理は出尽くしたように見えますが，まだ発見が残されていたとは驚くべきことです．先に掲載した　ナポレオンの定理https://note.com/sgk2005/n/n9593e9c0cae6
は，1800年頃の発見です．
2000年に，オランダ人のvanLamunは次の驚くべき性質の円を発見しました．

上の図をご覧ください．緑の３角形の辺の中点を対向する頂点と結ぶ（青線分）．３つの青線分の交点は重心と言われます．始めの緑の３角形が，６つの３角形に分割されました．この６つ3角形の外接円（点線の円）の中心（６つあります）は，ある一つの円周上に乗ります．この円（赤い円）は，ヴァンラムン円と呼ばれます．手ごわそうです．皆様，証明をお考え下さい．

（グリゴリイ･フェリドマンの記事：Kvantik（2012）６，p.9を参考にした）

その有限図形は何種類のペンタミノに分けることができますか？

ユーリ・マルケロフ「kvantik」＃ 3、2019の図を引用しますが、設問は変更しました。

図：1

ポリオミノとは、何個かの正方形セルを側面に接合した形状です。たとえば、テトラミノは4つのセルのポリオミノであり、形状は5種類あります（図1）。5つのセルからなるポリオミノはペンタミノと呼ばれ、12種類の異なる形状があります（図2）。

Q1．図２には１つのペンタミノが抜け落ちていますが、どんな形が抜けているかわかりますか．

図：2

テトラミノのある１種類を選び、選択した種類のテトラミノのみを使用して、以下の図形を作成してください？（テトラミノは裏返すことができます。）
答えを図3に示します。

図：3
ペンタミノについても同じ質問をしましょう。ここでは状況が異なることがわかります。
ペンタミノのタイプを選択して、選択したタイプのペンタミノのみを使用して、作成できるような有限の図形はありません。
何故でしょう？

問題がわかりにくいので、この問題を私は次のような設問に変更します：
Q2．ある有限図形があって，１2種類あるペンタミノの任意の1種類を選択して，そのペンタミノのみでその形を分割できるとする．
そのような有限図形はありますが？

Q3．十字架（図4）だけ，あるいは，アーチ（図5）だけに「分割」できる有限の図形が存在しないことを証明してください。

図：4、　　　　　　図：5、　　　　　図：6

図：7
図7の例は、ある図形の4種類の分割例です。残りの8種類のペンタミノのうちの1種類を使ってこの有限図形の２分割はできません．

GeorgeSichermanが発明した図は、8種類のペンタミノに分けることができます。

ポリオミノや他の図に関する多くの興味深い問題や写真は、recmath.orgで見つけることができます。
アーティストArtyomKostyukevich

kvantik幾何問題

2019/20年度の数学コンクールの年間ツアーの問題から、幾何の問題をいくつか選びました。2019/2020年度の年間ツアーの応募は終了しました。受賞者は12月号で発表されます。この数学コンクールは5年生～8年生が対象です。なかなか難しい問題です。試しにご挑戦ください。

ラウンドXー問題50（ジョン・コンウェイ）
図に示すように、任意の三角形の各辺が両方向に延長して得られた6つの点は1つの円上にあることを証明しなさい。

ラウンドIXー問題43 （Mikhail Evdokimov）
図に示すように、正三角形 AMB と ANCは、一辺の長さ１の正方形ABCDの対角線と側面に作成されます。距離MNを求めなさい。

ラウンドVIIー問題32 （Mikhail Evdokimov）
正方形ABCDのBC側には、外側に正三角形BMCを描きます。線分ACとMDは点Oで交差します。OA = OMであることを証明しなさい。

ラウンドIVー問題18
図示されているように、点Kは、二等辺三角形BACの底辺BCを長さxとyに分割します。角度AKCが60°の場合のAKの長さを求めなさい。

ラウンドIー問題4 （Mikhail Evdokimov）
図に示すように、2つの正方形が平面上にあります。一方の正方形の中心がもう一方の正方形の対角線上にあることを証明しなさい。

曲線上または曲面上をまっすぐに歩く２

図28 左は球状の生地、右はベーグルの生地。パン屋さんは、左の生地を取り、細長い円柱になるように巻き、（トポロジーでは、充填された円柱は充填された球と区別がつかない）曲げて、この円柱の端をつなぎました。そうして球がベーグルになってしまった...。止まれ、接着は不可（許されません）!　オブジェクトの種類が変更されます。

----------
私たちは、球の表面を取って曲げ、しわを寄せ、伸ばしてみましょう、どこも破らず、2つの点を1つに接着してはいけません。このようにして、例えば立方体を作ることができます。その方法を理解するために、ゴムでできた円から正方形を得る方法を示すなら、正方形の形を取るまで、円の境界の4つの点を外側に引っ張る。具体的には、円の境界の点が、正方形の外周の点に変わります。

縮めたサッカーボールのゴム表面を使って、いろいろなものを作ることができます。しかし、トポロジーが許す広い可能性の中でも、車の形表面を作るのは直感的に難しいと思います。球、楕円体、リンゴ、スイカは作れますが、引き裂くか、いくつかの点を一緒に接着しないと、球からベーグルを作ることはできません。以上によれば、次の２つのタスクは区別する必要があります。1)膨らんだ風船から膨らんだベーグルを作る、2) 風船の表面からベーグルの表面を作る。第１の問題は、図28のキャプションで「解決」されています。

そしてオイラーは、この記述が証明できるかどうかに疑問を持った。直感的には全く問題ないのですが、数学は明白なことを厳密に証明された言語に翻訳するという問題を抱えています。結局のところ、例えば平面上に住む文明を発見したとしても、問題の事実はその住人には明らかではない（挿話２を参照）。そして、数学の力を借りて、定理の内容を伝えることができるようになります。
---------
（挿話２）アインシュタインのトポロジー
かつてA.アインシュタインは、彼の発見の本質は何かを誰にでもわかりやすい言葉で、非常に簡潔に説明するように求められました。彼は答えた：私たちは皆、目隠しされた小さな虫のように、大きな球の表面を這っています。私は、自分の住んでいる世界が曲がっていることに初めて気がつきました。しかし、具体的にどのように湾曲しているのか(空間のトポロジカルなタイプが何であるか)はまだよくわかっていません。
ーーーー

そして、ここからが本題です。数年前に数学者のG.ペレルマンが同様の事実を立証しましたが、大次元空間でのみです。局所的に湾曲した3次元空間に似ている多次元空間の図形についての事実。私たちは3次元空間に住んでいて、4次元を見たり感じたりすることはできません。第4次元が時間であることを推論することしかできないが、目では把握できない。だから、大次元空間の球体からトーラスを作ることは不可能だと冷静に納得することはできません。(結局のところ、4次元空間では、上述のように、トポロジーのルールを守りながら、左側に心臓のある人を右側に心臓のある人に変えることは可能である)

それを証明できる言語が必要です。そして、ペレルマンが「ポアンカレ仮説」を証明するまでに何年もかかった（証明された後は、ポアンカレ仮説やポアンカレ-ペレルマンではなく、ペレルマン定理と呼ばれるようになった）。オイラーが始めた分野は大きくなった。彼は、皆が明白だと思うことを正確で鉄壁の数学的推論に翻訳しました。球、スイカ、地球、湾曲した多面体、どんな丸いものでも表面に何かしらの地図を描いた（図２９）。

トポロジーの観点から言えば、どんな多面体も球体である。４面体は球体、立方体は球体、８面体、どんな平行６面体もすべて球体です。例えば、ゴムで作って膨らませばサッカーボール、つまり球体になる。オイラーの仕事以前には、トポロジーそのものが存在しませんでした。

オイラーは、これらの物体がすべて同じであると直感した。具体的にはどのような形でどう説明するのか？彼は、球体の表面とベーグルの表面とプレッツェルの表面が同じではないことをどうやって証明するかという問題に特に興味を持っていた。

最初の質問に対する答えは、後にアンリ・ポアンカレによって明らかにされた（オーギュスト・コーシーが「連続関数」とは何かを明確にした後）。
オイラーはすぐに第2の問題（2つの面の非一様性の証明について）に目を向け、これを見事に解いた。

ーーーーーーーーーー

オイラー標数：（頂点の数）-（辺の数）+（面の数）

球体上に描いた地図とトーラス（ベーグル表面）に描いた地図で、オイラー標数を数えると違いがあり，この特性はトポロジー的な連続変形で変化するはずはないのだから，トポロジー的に違うものでなければなりません．
オイラー標数は：２（球表面），０（トーラス）

トーラス上の左の図形は

頂点の数１，辺の数２，面の数１

曲線上または曲面上をまっすぐに歩く１

https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/435720/Pryamoe_na_krivom_ili_Progulki_po_iskrivlyonnoy_poverkhnosti

ヴァレリア・シロタ「Kvantik」No.8，2020

まっすぐで平らな道なら、どこでも曲がらずにまっすぐ進むのは容易です。または、広い平原で、遠くにゴールやランドマークが見えればまっすぐ進めます。もし、途中に丘や渓谷があり、さらに、霧や、真っ暗だったりした場合はどうでしょう？どこにまっすぐ行くのか、どうすればわかるでしょう？曲がりくねった山道を歩いているときに「直線に沿って歩く」とは何でしょうか？そして、この坂道を振り向かずに進んでいくと、どこにたどり着くのでしょうか？

そのような疑問にも対応できるようにしていきたいと思います。まずは直線（普通の平面上）とは何かということから始めましょう。次の定義が一番良さそうです。

平面上の直線とは、その2つの点を結ぶ最短経路です。

（図１）直線上の任意の2点を取ります。ある点から別の点に可能なすべての線を描きましょう。直線上の線分は、これらすべての線の中で最も短いものになります．

この定義は、「まっすぐ進む」という指示に合います。ゴールが直線上にある場合は常に、これがその直線で最短経路です。確かに、ゴールがあなたの直線上にない場合、あなたはそれに到達することは決してありません...

（図２）破線

演習1.（図2）が直線ではないことを証明しなさい。

この演習から、私たちの定義では「どこでも曲がれない」ことがわかります。急に曲がると破線になり、これは最短経路ではありません。

演習2.科学者のシギムントは特定の線を研究し、それが直線であることを証明したいと考えています。彼はすでに、この線に沿った点Aから点Dへの経路が最短であることを証明することができました。点BとCがAとDの間のこの線上にある場合、この線に沿ったBからCへのパスも最短であることを証明しなさい。

演習3.科学者マクシミリアンは、点A、B、Cが乗っている別の線を調べます。彼は、この線に沿ったAからBへの経路が最短であり、BからCへの線に沿った経路も最短であることをすでに証明しています。これは、この線に沿ったAからCへのパスも最短であることを意味しますか、それともまだ証明すべきことがありますか？

平面上の直線はわかりました。では、この定義を曲面に当てはめてみましょう。例えば、非常に急峻で高い山があるとします（図3）。A地点からB地点までの最短経路は？　確かに山上を通るものではありません。最短の道は、図中の緑の線が示すように、明らかに山の麓のどこかを通っています。演習２で見たように、この線上のＡとＢの間にある点のペアについても、最短経路の条件が成り立つなら、これが直線でしょうか？　さらに、山が対称で、点Aと点Bが厳密に異なる辺にあるとすると、このような最短経路は2つあり、どっちも直線なのですね！？

（図 3）急峻な山。点Aから点Bへの最短経路は何ですか？

大体そのような考えで良いのですが、しかし、1つの問題があります。ポイントAと Bを超えてこれらの「直線」の延長を正しく描画する方法は？　これらの延長は平坦な地形で実行され、すでに「実際の」直線の線分のように見えます。ただし、「直線」に切れ目があってはならないことを覚えています（演習1を参照）。切れ目付近では、「最短経路」条件に違反します。したがって、Aと Bを通過する緑色の「直線」の「端」は、空間内の点Aと Bを通過する直線の非常に先の遠方です（これは、説明した表面上にはありません！）。

そして、ここで問題が発生します：山の周りから遠ざかれば、直線が山の周りをまわる必要はありません。図3の点Kから点Nまでの最短経路は別の直線になります。

さて、直線の定義は間違っていましたか？それとも、山岳地帯に拡張することは不可能ですか？いいえ、それほどひどい違いではありません：少し修正が必要なだけです。結局のところ、どんな曲面でも、その小さな部分を見ればすべてが小さな平面と見なせます。

「すべてをまっすぐに、まっすぐに」するには、遠くのゴールではなく、一歩先のゴールを見続けなければなりません。そうすれば、表面の曲率には気づかず、次の一歩を前の一歩と同じ方向に踏み出すことになります。そして、あなたが通った道の一つ一つの小片がまっすぐになります。結局のところ、そのすべての小さな部分の曲面は平面のように見えます。

したがって、曲面の場合の直線の定義では、2つの単語を追加します。直線に沿ったパスは、2つの十分に近い点に対して最短である必要があります。これですべてが整いました。この例の点KとNのペアは、十分に接近していないため、考慮できなくなりました。

これらの曲線を直線と呼ぶのは何か気が咎めるので、測地線という呼び方があります。これは、直線の概念を曲面の場合に一般化したものです。

曲面上の測地線は、その十分に小さい部分が、この曲面上の両端間で最短経路になるような線です。

それほど厳密ではありませんが、測地線は、すべての小さな（ほぼ平坦な）部分上で直線のように見える曲線です。

ちなみに、対称的な山の例では、描画した2つの測地線に加えて、第３の測地線が点Aと Bを通過します。これは、最初に最短ではないと拒否した山の頂上を通るパスです。これで、点AとBが十分に接近していないと宣言できます。

ご覧のとおり、ユークリッドの公理は、任意の2点（平面）を通る直線を1本だけ引くことができるというものですが、曲面の測地線ではまったく機能しません。たぶん、AとBを通る「直線」はもっと引けるかもしれません。山の形によりますが。

また、図３の緑と青の線のように、現実には「まっすぐ」な道（すなわち測地線）が、地図上では「曲がっている」ように見えることもあることを覚えておくと便利です。

***

これで、どような地形でも「まっすぐ進み、曲がらない」とはどういう意味かがわかりました。これは測地線に沿った動きです。今、どんな表面に対しても、次の質問をすることができます：

１．その測地線はどのように見えますか？
２．２つの与えられた点を通る測地線を描くには？
一般的な場合、この問題は難しいので、円柱と円錐という単純な「ほぼ平坦な」表面を歩くことを提案します。

シリンダー

図４：シリンダー

シリンダーを作るのは簡単です（図4）：紙を1枚取り、それを筒に巻き、端を接着します（できれば長辺に沿って）。カブトムシをその上に乗せて、それが這うように測地線を描くことができます。

最初から接着線に平行な方向を選択すると、カブトムシはこの線（および円柱の軸）に平行な直線に沿って這うようになります。このようなラインはジェネレーターと呼ばれます。軸に垂直な方向に移動を開始すると、測地線は円になります。

チャレンジ問題　斜めなど、他の方向に進むと、どのような線が表示されますか？

円錐

図5　円錐

すぐ作れます。接着も簡単です。最も簡単な方法は、大きな紙を取り、その側面の1つの点を選択し、この点で区切られた側面の2つの半分を接着することです（図5）。円錐の底面が不均一で、角が突き出ていても問題はありません。実際の円錐面は無限であり、これはほんの一部であると見なすことができます。

問題　この表面で測地線はどのように見えますか？

－－－続く

ナポレオンの定理,平面タイリングおよび平行n多角形

グリゴリイ･メルゾン，«Квантик» №12, 2020より
絵：マリヤ･ウセイノバ

ナポレオンの定理：任意の三角形の外側に構築された正三角形の中心は，正三角形を形成する．

テボの定理：任意の平行四辺形の外側に構築された正方形の中心は，正方形を形成する．この定理はナポレオンの定理の拡張のようなもの．

以下のように，平面タイル張りした図をじっと見ていると，これらの定理が成り立つことが理解できます．

平行５角形とは，各対角線が対応する（反対側の）辺に平行であるような５角形のことです．

さて，そのような平行n角形に対して，ナポレオンの定理もテボの定理も，一般化できます．

一般化されたナポレオンの定理：任意の平行なN角形の外側に構築された正ｎ多角形の中心は，正ｎ多角形を形成します．

平行5角形について，これが成立することを確かめてください．

3角錐の体積

<!DOCTYPE html>
<html lang='ru' prefix="og: http://ogp.me/ns# article: http://ogp.me/ns/article#">
<head>
<title>Макс Ден</title>
<noscript><meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0"></noscript>
<script type="text/javascript" src="https://gc.kis.v2.scr.kaspersky-labs.com/FD126C42-EBFA-4E12-B309-BB3FDD723AC1/main.js?attr=ycfrb6E0LNvvlwtUKoYDbVPLVBnzXkguNntqPkGzsJ3B7SF-4OxwEnAWhieBVpdnHyk6rfJj1pD_kTv65FMeM4OBV6T2gaikveAnHrJYpNqjGK7YibNn6azQeywjO7kw" charset="UTF-8"></script><link rel="stylesheet" crossorigin="anonymous" href="https://gc.kis.v2.scr.kaspersky-labs.com/E3E8934C-235A-4B0E-825A-35A08381A191/abn/main.css?attr=aHR0cHM6Ly9lbGVtZW50eS5ydS9uYXVjaG5vLXBvcHVseWFybmF5YV9iaWJsaW90ZWthLzQzNjEyNy9NYWtzX0Rlbg"/><script type='text/javascript'>if (!document.cookie.match(/\bdesktop_mode=1/)) document.write('<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">');</script>

</head>

<div class='mainmenublock hmenu' id='mmenubody' >
<div class='mbshading' id='mshading' onclick='toggleHMenu("mmenubody")'></div>
<div class='hmenu'>
<div class='menuarea' id='mmenuarea'>
<a href='/' class='close' onclick='return toggleHMenu("mmenubody")'><span class='icon close'></span><span class='hint'>Закрыть</span></a>
<script type='text/javascript'>
var desktop_mode = document.cookie.match(/\bdesktop_mode=1/);
if (!desktop_mode) document.write('<div class="oldlink hide_other"><a'+(location.href.indexOf('/video')>0?' class="inactive"':' href="'+location.href.replace(/\/\/[^\/]+/,"//"+(location.href.indexOf("//elementy")>0||location.href.indexOf("//elt.host3.elementy")>0?"old.":"")+"elementy.ru")+'" target="_blank"')+'>Эта страница в старом дизайне</a></div><hr class="hide_other">');
</script>
<ul class="level0"><li class="level0 ">
<div><a href='/novosti_nauki'>Новости науки</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/LHC'>Большой адронный коллайдер</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/novosti_BAK'>Новости LHC</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/monitory_bolshogo_adronnogo_kollajdera'>Мониторы LHC</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results'>Результаты LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc'>Загадки LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/b_s_mu_mu'>Распад b→sμμ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/leptonnaya_universalnost_1'>Распад B<sup>+</sup>→K<sup>+</sup>ll</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/leptonnaya_universalnost_2'>Распад B→Dlν</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/b_mu_mu'>Распад B→μμ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/raspad_higgsa_na_muon_i_tau'>Распад H→μτ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/top_antitop_higgs'>Комбинация топ-антитоп-хиггс</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/zaryazhennyj_bozon_higgsa'>Заряженный бозон Хиггса</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/dvuhfotonnyj_vsplesk_pri_750_gev'>Двухфотонный всплеск 750 ГэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/leptony_odnogo_znaka_na_atlas'>Лептоны одного знака на ATLAS</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/eejj-otklonenije'>eejj-отклонение</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/sobytije_2.9tev'>Событие при 2,9 ТэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/vsplesk_pri_2_tev_atlas'>WZ-пик при 2 ТэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/vsplesk_pri_1.8_tev_cms'>WH-пик при 1,8 ТэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/poiski_supersimmetrii_CMS'>Поиск суперсимметрии — 1</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/poiski_supersimmetrii_ATLAS'>Поиск суперсимметрии — 2</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/zagadki_lhc/poiski_supersimmetrii_iii'>Поиск суперсимметрии — 3</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/beyondSM'>Отклонения от Стандартной модели</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/susy_search'>Поиск суперсимметрии</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/exotic_search'>Экзотические частицы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/higgs_search'>Поиск бозона Хиггса</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/higgs_study'>Изучение бозона Хиггса</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/top-quark'>Свойства топ-кварка</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/spectroscopy'>Адронная спектроскопия</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/hadrons'>Рождение и распады адронов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/rare_decays'>Редкие распады B-мезонов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/difraction'>Адронная дифракция</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/nuclei'>Ядерные столкновения</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_results/astro'>Астрофизика</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working'>LHC в работе</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/lhc/timeline'>Хронология создания и работы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/general_schedule'>Общее расписание</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/general_schedule/what-to-check'>Как следить за новостями с LHC</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/general_schedule/working_cycle'>Рабочий цикл коллайдера</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/initial'>Ранние этапы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2008'>2008</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/incident'>Авария 19.09.2008</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2009'>2009</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2009/results_2009'>Результаты работы LHC в 2009 году</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_1'>Сеанс LHC Run 1</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2010'>2010</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2010/results_2010'>Результаты работы LHC в 2010 году</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2011'>2011</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2011/results_2011'>Результаты работы LHC в 2011 году</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2012'>2012</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/schedule_2015'>Техническая пауза LS1</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2'>Сеанс LHC Run 2</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2015'>2015</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2016'>2016</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2017'>2017</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC_working/run_2/2018'>2018</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/LHC'>Устройство и задачи LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/about'>LHC: ключевые факты</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator'>Устройство LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/beams'>Протонные пучки</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/magnets'>Магнитная система</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/magnet_training'>Как тренируют магниты</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors'>Детекторы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/ATLAS'>ATLAS</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/CMS'>CMS</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/ALICE'>ALICE</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/LHCb'>LHCb</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/TOTEM'>TOTEM</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/LHCf'>LHCf</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/accelerator/detectors/MoEDAL'>MoEDAL</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/why'>Зачем нужен LHC?</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks'>Задачи LHC</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/hadrons'>Свойства адронов</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/hadrons/spectroscopy'>Адронная спектроскопия</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/hadrons/decays'>Адронные распады</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/higgs'>Поиск бозона Хиггса</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/higgs/production_decay'>Рождение и распад</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/higgs/search_strategies'>Стратегии поиска</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/top-quark'>Топ-кварк</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/SUSY'>Поиск суперсимметрии</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/exotic'>Экзотические теории</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/tasks/nuclei'>Ядерные столкновения</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/safety'>Безопасность</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/safety/estimates'>Вероятность катастрофы</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/LHC/safety/black_holes'>Микроскопические черные дыры</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/LHC/phrases'>Толковый словарик журналистских штампов</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/HEP'>Физика элементарных частиц</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/educational'>Образовательные онлайн-ресурсы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures'>Величины и единицы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures/cross-section'>Сечение процесса</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures/luminosity'>Светимость</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/measures/invariant-mass'>Инвариантная масса</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study'>Как изучают частицы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/detecting'>Принципы детектирования</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors'>Погрешности</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/statistical'>Статистическая</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/systematic'>Систематическая</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/theoretical'>Теория и моделирование</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/sigma'>Сигма</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/LHC/HEP/study/errors/subtleties'>Тонкости анализа</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments'>Эксперименты на коллайдерах</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/quark_model'>Классификация адронов</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/partonic_densities'>Партоны</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/hadronization'>Конфайнмент и адронизация</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/rapidity-angle_diagram'>Быстрота–угол</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/experiments/analysis_methods'>Приемы анализа</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM'>Стандартная модель</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM/problems'>Трудности</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM/beyondSM'>За пределами СМ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/SM/SUSY'>Суперсимметрия</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory'>Хиггсовский механизм</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory/explanations'>Аналогии</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory/SM_Higgs'>Хиггс с массой 125 ГэВ</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/LHC/HEP/higgs_theory/nonminimal'>Неминимальные варианты</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/LHC/gallery'>Галерея</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/kartinka_dnya'>Картинка дня</a>
</div></li>
<li class="level0 active">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka'>Библиотека</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 active">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly'>В популярных журналах</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/vmirenauki'>«В мире науки»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/znanijesila'>«Знание — сила»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kvant'>«Квант»</a>
</div></li>
<li class="level2 selected">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kvantik'>«Квантик»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kommersant_nauka'>«Коммерсантъ Наука»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/kot_shryodingera'>«Кот Шрёдингера»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/nauka_i_zhizn'>«Наука и жизнь»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/nauka_iz_pervyh_ruk'>«Наука из первых рук»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/popularnaja_mehanika'>«Популярная механика»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/potentsial_himija_biologija_meditsina'>«Потенциал»: Химия. Биология. Медицина</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/potentsial_matematika_fizika_informatika'>«Потенциал»: Математика. Физика. Информатика</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda'>«Природа»</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda/o_zhurnale'>О журнале</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda/priroda_v_internete'>«Природа» в интернете</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/priroda/kak_podpisatsya'>Как подписаться</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/gazeta_troitskiy_variant'>«Троицкий вариант»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/khimiya_i_zhizn'>«Химия и жизнь»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/chto_novogo_v_nauke_i_tekhnike'>«Что нового в науке и технике»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/zhurnaly/ecologiya_i_zhizn'>«Экология и жизнь»</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/izbrannoe'>Избранное</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/lektsii_dlya_shkolnikov'>Лекции для школьников</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/interview'>Интервью</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/vystavka_vse_v_mire_otnositelno'>Выставка «Всё в мире относительно»</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/lib/exhibition/authors'>О художниках</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/lib/exhibition/about'>О выставке</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/problems'>Задачи</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/video'>Видеотека</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/bookclub'>Книжный клуб</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/book'>Книги</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/author'>Авторы</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/chapters'>Главы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/bookclub/chapters/knigi_opublikovannyje_polnostju'>Опубликовано полностью</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera'>Происхождение жизни</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level4">
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/evolutsija_i_priroda_nauki'>Глава 1</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/svidetelstva_biologicheskoj_evolutsii'>Глава 2</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/vzglyady_kreatsionistov'>Глава 3</a>
</div></li>
<li class="level4 ">
<div><a href='/nauchno-populyarnaya_biblioteka/proishozhdenie_zhizni_nauka_i_vera/FAQ'>Заключение</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul>
</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/publisher'>Издательства</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/series'>Серии</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/review'>Рецензии</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/bookclub/review_users'>Отзывы</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/events'>Календарь событий</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/email'>Детские вопросы</a>
</div></li>
<li class="level0 ">
<div><a href='/time'>Масштабы: времена</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/time/estimating'>В помощь читателю</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-1.html'>Как оценивать типичные времена</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-2.html'>Как применять формулы — иллюстрация</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-3.html'>Тонкости и предостережения</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-4.html'>Опорные числа</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-5.html'>Колебания</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-6.html'>Гармонические колебания и их период</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-7.html'>Волны</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/estimating/estimating-8.html'>Закон распада</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/milli'>Миллисекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-1.html'>Миллисекунды в нашей жизни</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-2.html'>Фото вместо видео</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-3.html'>Мерцающие огоньки</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/milli/milli-4.html'>Скрытые возможности невооруженного взгляда</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/micro'>Микросекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/micro/micro-1.html'>Остановившийся мир</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/micro/micro-2.html'>И всё-таки он движется!</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/micro/micro-3.html'>Пределы механического затвора</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/nano'>Наносекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-1.html'>От предметов к веществу</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-2.html'>Коллективные явления</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-3.html'>Электромагнитные колебания</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nano/nano-4.html'>Информационная емкость радиоволны</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/pico'>Пикосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-1.html'>Атомное движение</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-2.html'>Пределы звука</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-3.html'>Как начинается плавление</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-4.html'>Пределы электроники</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-5.html'>Электромагнитные волны</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/pico/pico-6.html'>Элементарные частицы</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/femto'>Фемтосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-1.html'>Мир электронов и света</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-2.html'>Оптические вычислительные технологии</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-3.html'>Фемтохимия</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/femto/femto-4.html'>Фемтобиология</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/atto'>Аттосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-1.html'>Личная жизнь атомов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-2.html'>Самые внутренние электроны</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-3.html'>Как взрезать атом</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/atto/atto-4.html'>Электроны на службе аттофизики</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/zepto'>Зептосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/zepto/zepto-1.html'>Жизнь атомных ядер</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/zepto/zepto-2.html'>Энергия, время и соотношение неопределенностей</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/yocto'>Йоктосекунды</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/yocto/yocto-1.html'>На границе известного</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/yocto/yocto-2.html'>Столкновение тяжелых ядер</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/yocto/yocto-3.html'>Вглубь йоктосекунды</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/year'>От секунды до года</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-1.html'>Семь с половиной порядков</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-2.html'>Искусственные спутники Земли</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-3.html'>Эхо землетрясений</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-4.html'>Астероид-убийца</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/year/year-5.html'>Как растекается тепло</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/very-long'>Астрономические времена</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-1.html'>Солнечная система</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-2.html'>Солнечная система на больших временах</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-3.html'>Глубокий космос</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-4.html'>Межгалактические отношения</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-5.html'>Танец земного климата</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-6.html'>Тектоническая жизнь Земли</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/very-long/very-long-7.html'>Сверхдолгоживущие частицы</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence'>Сонолюминесценция</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence/sonoluminescence-1.html'>Свечение, порожденное звуком</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence/sonoluminescence-2.html'>Поведение пузырька</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/sonoluminescence/sonoluminescence-3.html'>Последние мгновения коллапса</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/biophysics'>Фолдинг белков</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-1.html'>Физическая основа жизни</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-2.html'>Главная и боковые цепи</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-3.html'>«Жизнь» белковой молекулы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/biophysics/biophysics-folding-4.html'>Компьютерное моделирование фолдинга</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/excited'>Возбужденные атомы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-1.html'>Возбужденные атомы: кто такие и где встречаются</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-2.html'>Быстротечная жизнь возбужденных атомов</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-3.html'>Миллионы безуспешных попыток</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-4.html'>Ридберговские атомы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-5.html'>Атомы-долгожители</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/excited/excited-atoms-6.html'>Водородная линия 21 см</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/nuclear'>Ядерные распады</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-1.html'>«Ядерная секунда»</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-2.html'>Альфа-распад</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-3.html'>Тяжелые элементы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-4.html'>Бета-распад</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-5.html'>Двойной бета-распад</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/nuclear/nuclear-6.html'>Ядерные изомеры</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/particles'>Элементарные частицы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-1.html'>Законы элементарных частиц</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-2.html'>Два руководящих принципа</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-3.html'>Сильные распады</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-4.html'>Электромагнитные распады</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-5.html'>Слабые распады</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-6.html'>Повышенная жизнеспособность на околосветовых скоростях</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/particles/particles-7.html'>На переднем крае физики элементарных частиц</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/time/continents'>Движение континентов</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/continents/continents-1.html'>Такты тектонической жизни</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/continents/continents-2.html'>Возраст Гималаев</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/time/continents/continents-3.html'>Когда задышал Северный Ледовитый океан?</a>
</div></li>

</li></ul>
</li></ul><li class="level0 ">
<div><a href='/posters'>Плакаты</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level1">
<li class="level1 ">
<div><a href='/posters/moment'>Мгновение</a>
</div></li>
<li class="level1 ">
<div><a href='/posters/fractals'>Фракталы</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/fractals'>Что такое фракталы</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/geometric'>Геометрические</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Koch'>Снежинка Коха</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/T-square'>Т-квадрат</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/H-fractal'>H-фрактал</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Sierpinski'>Треугольник Серпинского</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Pythagoras'>Дерево Пифагора</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Levy'>Кривая Леви</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/dragon'>Дракон</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/dynamic'>Динамические</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Mandelbrot'>Множество Мандельброта</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Julia'>Множества Жюлиа</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Halley'>Фрактал Галлея</a>
</div></li>
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/fractals/Newton'>Фрактал Ньютона</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/complex_numbers'>Комплексные числа</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/dimensions'>Фрактальные размерности</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/how_to_draw'>Как это рисовать</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/nature'>Фракталы в природе</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/fractals/about'>О плакате</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/posters/collider'>Ускоритель</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/1'>Зачем нужен ускоритель</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/2'>Единицы измерения расстояний, энергий и масс</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/3'>Краткая история ускорителей</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/4'>Как работает ускоритель</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/5'>Детектор</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/6'>Как на ускорителе изучают свойства частиц</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/7'>Природные ускорители</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/8'>Применение ускорителей и детекторов в медицине</a>
</div></li>
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/collider/light'>«Легкая версия» плаката</a>
</div></li>

</li></ul><li class="level1 ">
<div><a href='/posters/aviation'>Покорение воздуха</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level2">
<li class="level2 ">
<div><a href='/posters/aviation/light'>Аппараты легче воздуха</a><span class='toggle_button' onclick='return toggleMenuItem(this, "LI")'></span></div><ul class="level3">
<li class="level3 ">
<div><a href='/posters/aviat

テトラコーンとは

Максим Прасолов（マクシム・プラソロフ）による«Квантик» №12, 2020の記事の図を利用しました．
加工した図もあります．文章は原文と異なります．理解し易いように要約して書き直しました．

テトラコーンの作り方
ソロバン球のような形（双円錐）を，上下の頂点を通る平面で2分割したときの断面が正方形であるような双円錐から始めます．2分割した双円錐の片側の部分を90°回転して張り合わせて作った図形がテトラコーンです．このような貼り合わせができるのは，断面が正方形だからです．

■テトラコーンは４つの半円錐の側面からできていて，
この立体の対称性（点群）は$${\tilde{4}mm}$$です．

作製したテトラコーンの写真
糊代が立体内部にあるので，組み立てにテクニックを要する．

作ったテトラコーンを展開図の上で転がしてみましょう．

テトラコーンの4つの半円錐側面は，面を接してこの展開図の上を転がることは明らかです．テトラコーンが転がるとき，次の性質があります：
（１）テトラコーンの中心の描く軌跡はどのようなものでしょうか．
（２）テトラコーンの中心は，紙面から一定の高さ（変動しない）を保つ．
（３）しかし，テトラコーンは定幅立体ではない．
(注）ルーローの3角形は，定幅図形であるが，中心位置は変動する．

■ポリコーンに一般化
この性質をもつ立体を一般化しポリコーンを作ることができます．
テトラコーンの断面は正方形だったが，断面正6角形から得られるのはヘキサコーン，断面正８角形から得られるのはオクタコーンです．一般に，偶数の正多角形からポリコーンを作ることができるが，奇数の正多角形からはポリコーンを作ることはできません．
ポリコーン作りの説明は，Максим Прасолов（マクシム・プラソロフ）による«Квантик» №12, 2020の記事では，冗長で理解しにくい．
以下に掲載するYouTube動画を観察すれば，自然に理解できると思います．

https://youtu.be/R27xHl_joRw
この動画はDavid Hirschによるが，テトラコーンは1980年にDavid Hirschによって特許取得がされた．

面白い性質を持つこのような立体が，何に役立つのだろうか？いろいろな使われ方が将来出て来ると思いますが，分かり易い例を示すと，ダンサーのフランツィスカ　ハウザーのウエブサイトが興味深い．この記事の表紙写真は，彼女のウエブサイトから借用しました．そこでは，八面体の湾曲したエッジで構成された台が使用されている．２つのエッジは，テトラコーンの半円2つ，残りは内側に曲がっている構造で必要なエッジです．

https://www.zirkus-meer.at/artisten/franziska-hauser/

Franziska Hauser - Zirkus Meer www.zirkus-meer.at
フランツィスカ　ハウザーのウエブサイトより

チェビシェフの歩く機械

ジェームズ・ワットによる蒸気機関の発明以来、円運動を直線運動に変換するヒンジ機構を構築することが課題になった。

チェビシェフは色々な機械のヒンジ機構の動作軌跡の研究をした。彼は初の歩行機械の発明を行った。宇宙ロケットの制御でも、ソ連はコンピュータは遅れているが、機械的制御が進んでいると言われた時代があった。これは、チェビシェフ以来の伝統によるものだ。
歩行機械の仕組みがどのようなものか、以下のサイトにある動画を見ると良くわかります．
円運動をキノコの帽子型（歩行する足の軌跡）に変換する「ラムダ・メカニズム」がミソです．キノコの帽子型の軌跡をたどる足をつければできる．

https://etudes.ru/etudes/tchebyshev-plantigrade-machine/

ロシアの偉大な数学者パフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフは、本来の問題を厳密に解くことはできませんでしたが、それを研究する過程で、関数の近似理論と機構の合成理論を発展させました。後者を使用して、彼はラムダ・メカニズムの次元を選択しました。

2 つの赤い固定ヒンジ、3 つのリンクは同じ長さです。ギリシャ文字の「ラムダ」に似たその外観から、ラムダ・メカニズムと呼ばれます。
小さな駆動リンクのゆるいグレーのヒンジは円を描くように回転し、駆動された青いヒンジはポルチーニ・キノコの帽子輪郭に似た軌道を描きます。

主動ヒンジの軌跡は、一様に回転する円上に等間隔に目印を打ち、それに対応する目印を自由ヒンジの軌跡に配置しました。

「キャップ」の下端は、主動リンクが円周を移動する時間のちょうど半分に相当します。この場合、青い軌跡の下部は、厳密な直線の動きとほとんど変わりません。

キノコの帽子のほかに、青い軌道は何に見えますか？
チェビシェフは、馬のひづめの軌跡に似ていることに気づきました。

ラムダ・メカニズムに「足」のある脚をつけてみましょう。同じ固定軸に逆位相でもう1本取り付けます。安定性のために、すでに構築されているメカニズムの 2 本足部分のミラーコピーを追加しましょう。追加のリンクは回転の位相を調整し、メカニズムの軸は共通のプラットフォームによって接続されます。力学で言う世界初の歩行機構の運動ダイヤグラムが得られました。

サンクトペテルブルク大学の教授であるパフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフは、発明されたメカニズムの製造に給料のほとんどを費やしました。彼は記述されたメカニズムを「木と鉄で」具現化し、それを「歩く機械」と呼んだ。この世界初の歩行機構は、ロシアの数学者によって発明され、1878 年にパリで開催された万国博覧会で一般的な承認を得ました。

チェビシェフのオリジナルを保存し、Mathematical Etudes がこの測定をできるようにしたモスクワ工科博物館のおかげで、パフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフの歩行機械の正確な３Dモデルが動作しているのを見ることができます。

チェビシェフの機械　
https://tcheb.ru/

2021年5月16日パフヌーティ・リヴォヴィッチ・チェビシェフ(1821-1894）の生誕200年

コーナー・リフレクター⁠

Etudes（数学研究）の記事から　https://etudes.ru/etudes/corner-reflector/

自転車の車輪に取り付けられたリフレクターには光源がないことは誰もがよく知っています。しかし、サイクリストのそばを通り過ぎるドライバーは、リフレクターに自分の車のヘッドライトが当たった瞬間に非常によく見えます。この同時の瞬間は、通行人にはリフレクターからの反射が見えないかもしれないという疑問を持ったことはありませんか?
驚くべきことに、リフレクターのこの特性は、最も単純な幾何学的事実に基づいています。

https://etudes.ru/etudes/corner-reflector/?ref=thematic　⇚動画をご覧ください。

幾何光学で知られているように、鏡面での光線の反射は、「入射角は反射角に等しい」という法則に従います。
2次元の場合を考えてみましょう - 2 枚の鏡は 90° の角度をなしています。平面内を走り鏡の 1 つに当たった光線は、2 番目の鏡で反射された後、始めとまったく同じ方向［向は逆戻り］に進みます。光線反射を色々な角度で試したり、分析したりして、これを確認してください。

3 次元空間で同様の効果を得るには、互いに垂直な面に 3 つの鏡を配置する必要があります。切り口が正三角形となる立方体の角を使いましょう。

このようなミラーシステムに当たるビームは、3 つの平面で反射した後、入射ビームと平行で反対方向に進みます。それを確認してください！

コーナー・リフレクタと呼ばれるのは、このような特性を備えた単純な幾何学的デバイスです。テクノロジーで使用するために、このようなコーナーの集積（バッテリー）を構築し、反射領域を増加させます。この段階では、単純な数学的考察が役立ちます。つまり、平面の三角形でのタイル張りで、これは、コーナー・リフレクターの集積構造を作るのに便利です。

これが、自転車や車の反射板の仕組みです。これらの幾何学的考察は、はるかに技術的に高度なデバイスでも使用されます。

月面車の設計を始めたとき、地球の衛星の表面が何であるかを誰も知りませんでした。それが固体であるか、微塵であるか、着陸したデバイスはその中に浮かんでいる必要があります。長い議論があり、セルゲイ・パブロビッチ・コロリョフ (1907-1966) のメモがポイントになりました。
「軽石などのかなり固い土と見なすべきです。 [...] コロリョフ。
これが、偉大な科学者が最も困難な問題を解決し、全責任を負うことを恐れなかった方法です。

1970 年 11 月 17 日、雨の海の地域で月面に着陸したステーションは、わが国の主要通信社であるソビエト連邦電信局 (TASS) のメッセージで、「ルナ17」と命名されました。ソビエトの装置が月の表面に降下し、地球の衛星に人類初の踏跡を「ルノホート-1」が残しました。それは、テレビカメラを通して装置の前にある月面の小さな領域を見ることができる、地球からの操作者によって制御されました。 3 ヶ（地球）月機能するように設計されたこのデバイスは、3倍に相当する11ヶ（月）日機能しました。人類初の月面車との最後の通信セッションは、1971 年 9 月 14 日に行われました。この間、「ルノホート-1」は 10 km (540 m) の距離を移動し、輪の軌跡を作って出発点に戻りました。

なんと、月面車にはコーナーリフレクターが搭載されていました！第一に、どの国でも月面にソ連の装置が存在するかどうかを確認できるようになった。そして最も重要なことは、このような単純な幾何学的装置が、科学が地球の衛星までの距離を測定するのに役立ったことです。すべての国の科学者は、21 世紀になってもルノホート 1 号のコーナーリフレクターを使い続けています。

文献
Алёшкина Е. Ю. Лазерная локация Луны // Журнал «Природа». 2002. № 9. Стр. 57—66.
Передвижная лаборатория на Луне «Луноход‐1». — Т. 2. — М.: Наука, 1978.
参照
Уголковый отражатель // Математическая составляющая / Ред.-сост. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. — Второе издание, расширенное и дополненное. — М. : Математические этюды, 2019. — С. 44—45, 297.

https://book.etudes.ru/toc/reflector/

https://etudes.ru/models/corner-reflector/

Уголковый отражатель / Статьи — Математическая составляющаяКатафот известен всем с детства — его устанавливают на спицахbook.etudes.ru
Уголковый отражатель / Модели // Математические этюдыУголковый отражатель удивителен своей «непостижимой эффективнetudes.ru

数学コンポーネント

この本は、ロシア科学アカデミーのステクロフ数学研究所から出た367ページの「数学エチュード」の第二版です。我々の周囲の「物」や「事」が数学と無縁でない事例を説き起こしています。ロシアの数学教育は、学校の授業とは別に、日常の事例や遊びの中から、数学を発見させることを重視しているようです。数学オリンピックもこの流れにあります。

この本の第1部、第２部は、言葉での説明ですが、第3部では詳しい数学の説明もあります。この本の企画趣旨は、数学月間の活動と全く同じ精神です。この企画趣旨が表現されている「序文」を翻訳しましたので、以下に掲載します。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
　　　　　　　　　　　　序文
読者は、数学が言語であり、自然科学と工学の主要なツールであることを知っています。数学は、物理学において、理論から応用まで、宇宙飛行の実現、原子エネルギーの利用、コンピューター社会の生活まで、その役割を果たしています。しかし、医学や言語学などの分野における数学の重要性は、一般の人々にはあまり知られていません。活動のさまざまな分野で、数学的「要素」の重要さを認識している読者でさえ、これらの分野の数学への依存度を評価できるわけではありません。それは、応用分野に特化されて使用されることの多い数学ツールの複雑さのためです。人々は言葉で数学の役割を認識していますが、私たち周囲の物や現象の数学的「内容」を考えることは稀で、時には数学があることに気付かないことさえあります.

既存の応用問題は常に要求の厳しい数学の顧客、常に数学自体に新しい課題を設定します。一方で、数学の進歩は新たな可能性を切り開き、以前は考えなかった技術的課題や解決策を生み出しています。そして時には、理論数学の結果が、何十年も待ってから具体化し、予想外の信じられないほどの効率で「開花」します。読者は、この本でこの双方向の相互作用の例を、数多く見つけることができます。

この本は 3 つの部分で構成されており、それぞれに独自のカラーコードがあります。最初の部分 (「青」) には、人類にとっての数学的研究の重要な必要性を示す短いテキストが含まれています。

2 番目 (「緑」) の部分には、日常生活における数学の「出現」が含まれています。プロットのほとんどは数学のフォークロア（口伝え）からで、編集者によって集められたものです。

最初の 2 つの部分には数式はほとんどありませんが、読者はそれらに目を通して、現代社会の生活において数学の必要さ、そのかけがえのない役割を感じることができます。
このようなプレゼンテーションは、将来の職業を選択する学生から、国の発展における優先事項を決定する国家公務員まで、特に重要な決定を下す人々の幅広い読者に受け入れられるべきであると信じています.

3 番目 (「赤」) の部分には、「青」および「緑」の部分と比較して、より複雑な数学的詳細、より大きなボリュームのテキストを集めています。
このセクションは、他のセクションよりも、記述された数学的本質を明確に理解することに関心のある読者層を対象としています。

第 2 版では、本書の主要部分に、「本棚」、「追加、コメント、文献」、「索引」のセクションが追加されています。

「本棚」は、読者に数学の世界をより深く、より包括的に理解させる、定評のある本を紹介します。
「追加、コメント、文献」のセクションでは、本の主要部分で説明されているトピックを展開し、説明しています。

関連する追加資料のページへのリンクと、プロットの主題に関する書籍のリストは、各記事の最後にあります。

「索引」セクションでは、本のプロットを実質的に分類しています。
これには、数学の分野と使用される用語の両方が反映されます。
本書のすべての資料には共通の特徴があります。編集者によって考案されたように、提示された雑多なプロットの万華鏡は、数学者を際立たせるその特別な世界観を読者に知らせるはずです。

これは、論理的思考の開発、式、定理、理論の形のさまざまな数学的ツールの所有だけでなく、異種現象の一般的な数学的特性を見出だし、使用する能力でもあります。コレクションに示されている例によって、読者が私たちの周囲の世界を研究するための同様のアプローチを感じ、評価できるようになることを願っています。

この本の特徴は、第1部と第3部にロシアの数学者によって書かれた記事が含まれており、その結果が世界レベルの数学であることです。
読書家にとって、直接の科学的情報に接するのはめったにない祝福です。

この本のページに有名な数学者が著者として登場するのは、この本がロシアの主要な科学センターであるロシア科学アカデミーのステクロフ数学研究所で作成されたという事実によって説明されます。
ロシアの数学コミュニティの伝統は、数学教育の組織への積極的な参加で、
この重要な問題のレベルを維持する苦闘をしました。
したがって、同僚への編集者の要求は、友好的で、興味深く、積極的な反応を得ました。

公式や定理を含むテキストを恐れる読者を遠ざけないために、このコレクションでは、一般的な説明スタイルのプレゼンテーションが意図的に選択されています。一部の読者にとって、このスタイルが不十分な厳密さと明快さの感覚を引き起こす可能性があることは明らかです. 著者はこれを回避しようとしました。プレゼンテーションの不正確さやその他のエラーが検出された場合は、編集者の欠陥のみに起因すると考えてください.
第２部のプロットに関する数学的事実、最も単純な部分、思慮深い読者は再構築して自分で分析することができます。
これは、第 3 部の個々のプロットにも当てはまります。同様のシナリオは、ここで学童と一緒に作業するための豊富な資料を見つける教師によって使用できます。
このコレクションの重要な構成要素はイラストです。
ブックデザインの図面とグラフィックスタイル全体の両方が、ローマン・コクシャロフにより作成されました。
図面の数学的正確さ、本のレイアウトは、ミハイル・パノフの功績です。
コレクションの拡張された電子版は、Web サイトで入手できます。
https://book.etudes.ru/　の「数学エチュード」。
電子版が開発され、本書に記載されているトピックに関する情報と他の情報源へのリンクが補充されています。

プロジェクト「Mathematical Etudes」での共同作業がなければ、コレクション自体が存在しなかったことに注意してください。
プロジェクトは、ミハイル・カリニチェンコ、ロマン・コクシャロフ、ニキータ・シャベルゾンの無私な仕事のおかげで実現しました。
この本が、完全で普遍的なコレクションであるとは主張していません。
生活における数学の出現例、提示されるトピックの選択は、コレクションの著者と編集者の好みを反映しています。残された多くの鮮やかな例があり、それについても語られる必要があります. 読者の皆様のご協力を賜りながら、本作が継続されることを願っております。

Редакторы-составители
Николай Николаевич Андреев
Сергей Петрович Коновалов
Никита Михайлович Панюнин
сотрудники лаборатории
популяризации и пропаганды математики
Математического института имени В. А. Стеклова РАН
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СОСТАВЛЯЮЩАЯ
編集-コンパイル　Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин
絵-イラスト　Р. А. Кокшаров
第2版, 拡大増補
Математические этюды
Москва — 2019

著者名リスト

ロシアの数学月間

ロシアの数学教育の特徴を見てみましょう。
多民族であり多様な地域が対象であること，色々な数学の応用分野の対象者を考慮し，数学教程のレベルは多様なもの（ミニマム内容の設定，上級数学への接続）となっている．

数学ドリルのような教育ではなく，生活や科学の背景の中で，数学的な要素を見出すことを重視している．遊びの要素のない与えられた計算ドリルを解くのでは，論理的思考を養い問題解決の手法を得るのに役立たないと考えている．
このような数学教育の方針は，ステクロフ数学研究所発行の「数学コンポーネント」にも表れている．社会と数学の係わりから数学を見ようとする「数学月間」の思想とも合致する．
ロシアの数学教育では，数学オリンピックが重視されているように見える．これも，与えられた数学問題を解くのではなく，生活や科学の背景の中から，数学課題を見つけ出しそれを解決するという流れの上にあるからである．

工学をはじめ社会の色々な分野で数学が働いており，もちろん自然現象にも芸術にも遊びにも数学が働いている．いろいろな遊びや工作をしながら，子供たちは，自ずとその中に数学的要素を発見し身に着けるものである．このような数学的素養はドリルとして数学問題を解いて身につくものと質が異なる．我々の数学月間活動では「数学まつり」を重視しているのはこのためである．
ロシアでは，後述するように，「全国数学フェスティバル」が全土191都市で実施されている．

（注）https://note.com/sgk2005/n/n5cddbb417b3c

数学的コンポーネント
編集 - コンパイラー： N. N. Andreev，S. P. Konovalov，N. M. Panyunin
デザイナー： R. A. コクシャロフ
第 2 版（拡大増補） "Mathematical Etudes", 2019. - 367頁

ベストセラーとなった単行本「数学コンポーネント」の初版は17,000部発行されました．この本は，科学的知識の促進における優れた業績に対して，ロシア科学アカデミーの啓蒙賞と金メダルを受賞しました．

2019 年 11 月に，大幅に増補された第 2 版が発行されました．第2版では，新しい物語と新しい著者が追加され，本のボリュームは2倍になりました．セクション「追加とコメント」と「本棚」，「索引」が追加されました．

Статьи — Математическая составляющаяКнига состоит из трёх частей, каждая имеет свой цветовой код.book.etudes.ru
上記のサイトにこの本の目次があり，クリックすると内容に移動し読むことができます：

Математика. Каталог научных сайтовold.elementy.ru
■ウエブサイトelemenntsの中に，上記のような数学カタログのサイトがあります．<以下引用>
親愛なる友人！
私たちのサイトは数学 (および数学者) に捧げられていますが，もちろん，すべてを収集したわけではありません．このサイトは，小学生，学生，教師，および数学に関心のあるすべての人を対象としています．現代数学の成長圏に興味のある方は，他のサイトを参考にしてください．ここには「数学の入門」，特に試験の準備のための資料もほとんどありません．私たちはまず，何かを知っている人，何かに興味を持っている人のことを考えます．

たまたまここに来て，数学が学校で最も不快な科目の 1 つだと思っていても (「理解できないけど、たくさん詰め込まなければならない」)，急いで立ち去らないでください．ライブラリ，メディアライブラリ，およびその他のセクションを散歩してみてください．あなたは確かに何か新しくて面白いものを見つけ，おそらく頻繁に訪れる人の一人になるでしょう.

このサイトでは，本，ビデオ講義，面白い数学的事実，さまざまなレベルとトピックの課題，科学者の生活から見出した個々の物語など，驚くほど魅力的な数学の世界に飛び込むのに役立つすべてを見つけることができます.

教える（学ぶのを助ける）同僚のために，レッスン，公式文書，およびその他の有用な作業のための資料を収集しています．

私たちはどんなフィードバックにも感謝します (決して称賛だけではありません)．

数学 [736]
ジオメトリ [33]
数学的分析 [31]
数学モデリング。数学者向けソフトウェア [76]
制御理論 [46]
方程式 [19]
学童数学 [147]

■数学コンクールツアー
学校のカリキュラムをどのように学んだかを確認するつもりはありません．これらの課題は、考える能力 (および欲求) に関するものです．

課題への取り組み方がわからない場合は，ヒントをお読みください(課題が公開されてから 2 日後に表示されます)．ヒントが役に立たなかった場合でも，落胆しないでください．それについて考え始め，トピックに少し没頭することが重要です．あなたはまだ解決策を知っているでしょう．最も重要なことは，あとがきを見ることを忘れないことです(決定のように 4 日後に表示されます)．

原則として，課題は，ニュースや記事のように，解答とあとがきとともに，簡単に読むことができます．それらのそれぞれは，いくつかの現象，または科学的方法，またはその他の興味深いものについて語っています．

解答が公開された後にのみ，問題にコメントを書き込むことができます．そして，セクション全体に対するコメントや提案をproblems@elementy.ruに送信してください．

■全国数学フェスティバル

Московский фестиваль НАУКА 0+msk.festivalnauki.ru
今年は，2023年10月6－8日に実施される

モスクワ市内90会場
モスクワ州立大学基礎図書館
モスクワ州立大学のシュバロフ校舎中央展示場
「エキスポセンター」
ロシア科学アカデミー
ザリヤダイ公園など
全国191の都市で開催

География всероссийского фестиваля наукиfestivalnauki.ru
対象者：
高校生
中高生のお子さんがいるご家庭
学生
基礎教育および追加教育の教師
若いスペシャリスト
科学者と開発者

■ビデオライブラリーと講演会

Видеотека «Элементов». Видеозаписи лучших научно-популярных лекцийВидеозаписи публичных лекций, организованных фондом «Династияelementy.ru
Dynasty Foundation for Non-Commercial Program　
TRAJECTORY FOUNDATION

文化教育センター「ARKHE」
ЛЕКТОРИЙ КУЛЬТУРНО-ПРОСВЕТИТЕЛЬСКОГО ЦЕНТРА «АРХЭ»

などの講堂で全国各地で実施されている．講演ビデオは公開されている．

以下のサイトで大人向けスクール・プログラムの放送を視聴することができる．

■大人向けスクール・プログラム
Школьная программа для взрослыхОбразовательный проект Игоря Ружейникова.smotrim.ru

幾何学的結晶学

https://book.etudes.ru/articles/crystallography/

Николай Петрович Долбилин

2011 年のノーベル化学賞は「準結晶の発見」に対して授与されました。これは、これまで見られなかった原子の配列構造を持つ固体です。この発見により、固体の研究に新しいページが開かれました。固体は、結晶とアモルファス構造（ガラス、プラスチック）の2つのタイプに分けられます。古代に注目された結晶と非晶質体の違いは、結晶には天然のファセットがあることで、それは、たとえば砂糖や塩の小さな粒など、ミクロレベルで明確に現れることがあります。自然科学者は、結晶の自然なファセットは、その内部構造によるものとしました。

物質の性質は化学組成だけでなく、原子（分子）の並び方によっても決まり、物質の構造を知ることは重要です。よく知られている例は、グラファイトとダイヤモンドで、化学的には同じ、どちらも炭素です。しかし、これらの炭素の配列構造は完全に異なり、結晶群も異なります。その結果、これらの素材は異なる物理的特性を持ちます。非常に柔らかいもの、非常に硬いもの、つや消しの黒、透明なものなどです。

結晶の構造と結晶形成の問題を研究する科学は、結晶学と呼ばれます。準結晶の発見後、これらの新しい構造の研究に特化したセクションが登場しました。

結晶クリスタルという言葉は古代ギリシャ語κρύσταλλοςに由来し、「氷」、「山の氷」または「水晶」を意味します。

科学の別の要素は、ある程度結晶学に起因する可能性があり、古代ギリシャ人の作品 (正多面体) に見られます。I. 17 世紀初頭 (1611 年) に登場したケプラーの論文「六角形の雪片について」は、構造結晶学に関する文献の最初の先駆者と見なされています。フランスの著名な科学者 R. J. ハユイによって表現された「劈開面」に関する結晶学の最も重要な命題が策定されたのは、18 世紀末になってからのことです。この発見の歴史は、「ニュートンのリンゴ」の伝説に似ています。方解石の結晶は、Guyuy の手からの偶発的な落下によって多数の菱面体の破片に粉砕されました。これにより、結晶は平面に沿ってのみ分割できるという考えが生まれました。その方向は、この結晶によってあらかじめ決定されています。破片をさらに粉砕すると、結晶が平行六面体と平行六面体に組み合わせることができるような形状の多面体で構成されていることが示されました。

互いに結合した平行六面体のセットとしての結晶の平行六面体構造の概念から、結晶格子の理論が発展しました。この理論の作成者は、最大の結晶学者の 1 人である O. Brave でした。

3 つの非同一平面上にある (同じ平面にない) ベクトルを構築します。、、平行六面体を変換 (シフト) してベクトルに分割するここで係数、、 - 整数。こうして得られた平行六面体の頂点の集合が格子である。物質の原子を表すいくつかの点が最初の平行六面体に配置されている場合、考慮される「複製」では、いくつかの平行に配向された格子のファミリが得られます。同一の平行な格子のこの組み合わせは、19 世紀前半に登場した結晶の数学モデルであり、一般的にいまだに「機能」しています。直線的に独立した 3 つの方向における結晶の内部構造の周期性は、結晶学の主な原理です。

すべての結晶学の中心的な数学的アイデアは、結晶の対称性です。図形の対称性は、図形とそれ自体を組み合わせた空間の動きです。任意の図形のすべての対称性の集合には、次の 3 つの特性があります。

1) 2 つの対称性の積それらの順次実行の結果として、図の対称性もあります。

2) 空間内の任意の点をその場に残し、したがって任意の図形を不動のままにする、いわゆる同一の動きも、図形の対称性と見なすことができます (実際、同一の動きは動きではなく、「立っている」ことです)。場所）;

3) 対称性とともに反対の動き空間の各点を元の場所に戻すは、図形の対称性でもあります。

これら 3 つのプロパティを持つモーションのセットは、対称グループと呼ばれます。

ポイントを取ると対称性のいくつかのグループからのすべての動きで空間を破壊します、次に、軌道と呼ばれる一連の点を取得しますポイントグループに関して.

たとえば、正方形の対称群は 8 つの要素で構成されています。恒等を含む 4 つの回転と、4 つの線についての反射です。また、点の軌道は、この点の選択に応じて、8 つ、4 つ、または 1 つの単一の点 (後者 - この点が正方形の中心である場合) で構成されます。

与えられた図形のすべての対称性のグループとともに、与えられた図形の不完全なグループ、つまり、条件 1) ～ 3) が満たされる完全なグループの対称性のサブセットも考慮されます。

1 つの点が原点と一致する任意の格子を考えます。座標の原点を保存し、同時に格子を結合する空間の運動のグループは、結晶クラス（点結晶グループ）と呼ばれます。Bravais の前でさえ、32 の結晶クラスすべてが発見されました (J.F. Hessel, 1830)。回転の中の結晶クラスでは、2次（180°回転）、3次（120°回転）、4次（90°回転）、6次の軸が存在できることが非常に重要ですが、五次はありえない。

ある格子の完全な点群である結晶クラスは、ホロヘドリーと呼ばれます。格子。32 の結晶クラスのうち、ホロヘドリアは 7 つしかありません。「最も貧弱な」ホロヘドリーは三斜晶系であり、2 つの要素で構成されています。同一の変換と格子点に関する対称性です (任意の格子はそのような対称性を持ちます)。より豊かなホロヘドリア - 単斜晶、直交、正方形、菱面体、立方体、六角形 - はすべてに固有ではなく、特別な格子にのみ固有です。Bravais は、六角形の全面体を含む格子を除いて、他のすべての格子で平行六面体の格子を見つけることができることを発見しました (一般的に言えば、格子が構築された主要なものとは異なります)。その対称群は格子全面体です。 . このタイプの各格子に対して、最小体積の平行六面体が呼び出されますブラヴェの平行六面体。六角形のホロヘドリー (正六角柱の完全な群と一致する) の場合、ブラヴェの平行六面体は特別な方法で定義されます。ブラヴェは、すべての格子に対して平行六面体を発見しました。大きく異なるタイプは 14 であることが判明しました。したがって、グレーティングも 14 のブラヴェタイプに分散されました。

ブラヴェ分類は、結晶の最も一般的な対称群、いわゆる結晶学的群を記述するための基礎となりました。

空間の運動のグループは、その点のいずれかの軌道が離散セット、つまり点が互いに分離されている場合、結晶学的と呼ばれます。さらに、そのようなグループに関する軌道は、仮定により、任意に大きな空洞を持つべきではありません。十分に大きな固定半径のボールが配置されている場合は、指定された軌道からの少なくとも 1 つのポイントが含まれている必要があります。

最も単純な結晶学的グループの例は、次のグループです。、非共平面ベクトルによる 3 つのシフトによって生成されます、、 . このいわゆる最初の三斜グループは、格子ベクトルへの空間の変換で構成されています. 軌道であることは明らかである.任意の点格子からこの格子自体があります。したがって、最初の三斜群は格子の対称群です。イフポイント格子に属さない場合、軌道平行移動によって元の格子から得られる別の格子があります。最初の三斜グループに関する軌道は離散セット (この場合は格子) であり、十分に大きな半径の各ボールには格子からの少なくとも 1 つの点が含まれているため、グループは結晶学的です。

平行移動に加えて、格子には他の対称性もあります。したがって、格子の任意の点、および任意の「半整数」点、つまり形式の点に関する空間の対称性

は格子対称です。格子の整数点と半整数点に関する平行移動と対称性のセットは、いわゆる第 2 三斜群を形成します。これは、次に複雑な結晶グループです。最悪の場合、非対称格子では、三斜群が格子の最大対称群です。

もう 1 つのことは、格子が豊富な点対称性 (ホロヘドリー) を持っている場合です。たとえば、立方格子のホロヘドロンは、立方体の完全な対称群と一致します。これは、48 回の回転と反射を伴う回転で構成されます。したがって、立方格子の完全なグループでは、そのポイントの各ペアに対してと 48の動きがあります。立方格子グループは、結晶グループの別の例です。

19 世紀における結晶学の発展の集大成は、偉大なロシアの結晶学者 E. S. Fedorov (1857-1919) の研究でした。彼は、対称群が結晶学的群である離散的な点 (原子) の集合として結晶を定義しました。言い換えれば、Fedorov によれば、結晶は、いくつかの結晶学的グループに関するいくつかの原子の一連の軌道です。.

E. S. Fedorov (ドイツの数学者 A. Schoenflies と同時に) は、1891 年にすべての結晶学的グループを発見し、230 であることが判明しました。この複雑な数学的結果は、結晶の構造とそれらの対称グループに関するその後の詳細な研究の基礎となりました。 .

230 の結晶グループのうち 229 には、並進運動だけでなく、回転要素を伴うより複雑な運動も含まれていることに注意してください。これらのグループには格子対称性が含まれており、Bravais によって得られた分類を使用してそれらを導き出しました。結晶の定義に対する Fedorov のアプローチは、Bravais によれば、結晶のクラスを拡張するように見えました。これは、Bravais によれば、平行に配向された格子 (平行移動のみのグループに対する一連の軌道) の結合です。Fedorov は、3 次元空間で作用する結晶学的グループには、同一平面上にない方向への 3 回の並進によって生成されたサブグループが含まれていると確信していました。この主張は、Schoenflies によって厳密に証明されました。この特性により、フェドロフによると、以前のように、ブラバによると、クリスタルは、

20 世紀の初めに、物理学の分野における顕著な発見のおかげで、結晶の格子構造に関する結晶学の主要な位置が確認されました。1912 年、ドイツの科学者 M. ラウエは、結晶格子上での X 線散乱中に回折を発見しました (1914 年ノーベル賞)。ラウエの発見に基づいて、英国の物理学者 W. L. と W. H. ブラッグ父子は、結晶の X 線回折分析の基礎を開発しました (ノーベル賞、1915 年)。

したがって、フェドロフによる結晶の定義によれば、その内部構造は最も対称性に富んでいます。自然界や地質博物館で天然の結晶を見て、結晶の外形の美しさを直視できるとしたら、内部構造の美しさは、どこかの研究室や大学の学部の模型でしか見ることができません。 . これらの非常に美しい構造は、結晶化の結果として形成されます。つまり、物質が液体の無秩序状態から固体の結晶状態に移行する際に形成されます。このような遷移は、冷却中など、特定の物理的条件下で発生します。結晶化中に全体的な秩序が現れる理由は何ですか?

常識的には、結晶の原子構造の全体的な秩序は、同種の原子の近くでの局所的な配置の繰り返しの結果であると考えられていました。フラグメントのアイデンティティの出現は、物理的な観点からも説明できます。アメリカの物理学者 R. ファインマンは次のように書いています。原子をさらに遠ざけると、まったく同じ条件が再び見つかります。注文は何度も何度も繰り返され、もちろん、すべての3次元で...」. ローカル秩序からのグローバル秩序の起源には確信がありましたが、正確な定式化と証明はありませんでした.

結晶の世界秩序の「局所的原因」に対する信念は、V. A. ステクロフ数学研究所の B. N. Delaunay と彼の幾何学者の学生によって行われた結晶の局所理論に関する研究の結果として得られた定理と証明に取って代わられました。1970 年代に開始された一連の作業で、MIAN の作業者は離散セットの結晶学的基準を証明し、近隣の半径の推定値を見つけ、その同一性が構造の正確性を保証しました。局所理論には、正規システムの局所フラグメントの特性と、それらをグローバルに順序付けられた構造に「組み立てる」ための規則を記述するアプローチが含まれていることにも注意してください。

Boris Nikolaevich Delaunay によって開始された局所理論に関する研究のサイクルは、Delaunay の半世紀にわたる幾何学的結晶学の発展に関する研究の価値ある継続であり、Delaunay 集合論、Delaunay の三角形分割理論などのツールの出現をもたらしました。はるかに。

結晶の局所理論に見られる正確な条件の役割は、離散セットのファミリーから正確に周期的構造を区別し、いわゆるペンローズパターンの出現で再評価されました。1970 年代に英国の物理学者 R. ペンローズによって発見された平面構造では、一般に周期性はありませんが、局所的なモチーフが何度も繰り返されています。

ペンローズパターンには、5 次の無限に多くの対称軸が含まれていることが特徴です。直線は、360 ° / 5 の角度でそれらの周りを回転することにより、パターンの一部がそれ自体に入ります。さらに、ペンローズパターンでは、5 回対称性を持つ任意の大きなフラグメントを見つけることができます。一方で、これらのフラグメント (1 つの例外を除く) は制限する必要があります。その後、数学者は、同様の特性を持つ構造が 3 次元空間にも存在することを示しました。

そのような構造が結晶を表すことができないという事実は、19 世紀には早くも結晶学者に知られている特性から得られたもので、周期構造は 5 次の対称軸を持つことはできません。

幾何学の新しい研究分野、つまり準結晶構造が生まれました。しかし、「本物の」準結晶が存在するかどうかという問題は未解決のままでした。

1982年、イスラエルの物理学者D.シェヒトマンの研究室で、アルミニウムとマンガンの合金が得られました。その構造は、5次の明確な軸対称性を持っていました...30年後、この発見はノーベル賞を受賞しました化学の「準結晶の発見に対して」。

結論として、指定された特性を持つ新しい構造を予測する分野で、新しい材料の理論的設計に関する集中的な研究が最近行われていることに注意してください。この方向性は、新しい驚くべき特性を備えた材料の作成を約束します. そして、これらの研究の重要なツールは幾何学的方法です。